Projekti / Programi
Pozitivne preslikave in realna algebrična geometrija
| Koda |
Veda |
Področje |
Podpodročje |
| 1.01.04 |
Naravoslovje |
Matematika |
Algebra |
| Koda |
Veda |
Področje |
| P001 |
Naravoslovno-matematične vede |
Matematika |
| Koda |
Veda |
Področje |
| 1.01 |
Naravoslovne vede |
Matematika |
realna algebraična geometrija; pozitivna preslikava; operatorska algebra; kopozitivna matrika
Raziskovalci (12)
Organizacije (2)
Povzetek
Linearna preslikava phi med matričnimi algebrami je pozitivna, če slika pozitivno semidefinitne matrike v pozitivno semidefinitne matrike, in je povsem pozitivna (cp), če so vse preslikave I_kotimes phi pozitivne. (Povsem) pozitivne preslikave so pogoste v linearni algebri in operatorskih algebrah, v matematični fiziki in kvantni informatiki. V predlaganem projektu želimo kvantificirati vrzel med množicama pozitivnih in cp preslikav. Domnevamo, da je pozitivnih preslikav veliko več kot povsem pozitivnih. Naš pristop bo na povsem nov način združil orodja algebre, geometrije in analize ter odprl pot k dokazu domneve. V okviru projekta nameravamo razviti tudi algoritem za konstruiranje pozitivnih preslikav, ki niso cp.
Pomen za razvoj znanosti
Predlagana vsebina projekta je trenutno zelo aktivno področje matematičnega raziskovanja, zato bodo doseženi rezultati pomembni za razvoj matematične znanosti. Študij pozitivnih in povsem pozitivnih preslikav predstavlja pomemben del linearne algebre, fukcionalne analize in teorije operatorskih algeber. Preko prehoda na polinome bomo ta področja povezali z (realno in kompleksno) algebraično geometrijo, kar je nov pristop k študiju pozitivnih preslikav. Povsem pozitivne preslikave so karakterizirane s pomočjo Choi-Krausove forme, kar omogoča učinkovito računanje z njimi preko semidefinitnega programiranja. Po drugi strani je o pozitivnih preslikavah znanega zelo malo, preverjanje pozitivnosti preslikave pa je NP-težko. Zato so izjemno pomembna vprašanja, kakšna je vrzel med pozitivnimi in povsem pozitivnimi preslikavami, ter kako dobro je mogoče pozitivne preslikave aproksimirati s povsem pozitivnimi oziroma s takimi, ki jih je mogoče učinkovito preveriti, na primer s semidefinitnim programom. Z vsemi temi vprašanji se bomo ukvarjali v našem projektu. Pomemben vidik našega projekta je tudi konstrukcija pozitivnih preslikav, ki niso povsem pozitivne. Doslej je znano le malo takih preslikav, čeprav so take preslikave v kvantni informatiki temeljne za razlikovanje separabilnih in prepletenih stanj. Naši rezultati bodo omogočali konstrukcijo mnogih pozitivnih preslikav, ki niso povsem pozitivne, kar bo v kvantni informatiki omogočilo razvoj novih metod za ugotavljanje prepletenosti stanj. Naše raziskave bodo povezane tudi s področjem optimizacije, ki je zaradi svoje uporabnosti eno najaktivnejših matematičnih področij v zadnjih letih. Naši rezultati bodo doprinesli tudi k boljšemu razumevanju kopozitivne optimizacije in semidefinitnega programiranja.
Pomen za razvoj Slovenije
Optimizacija je vseprisotna tako v znanosti kot v gospodarstvu. Ocenjujemo, da bodo od našega projekta najbolj neposredno na gospodarstvo vplivali rezultati na področju kopozitivnosti, saj se mnogi znani in v praksi zelo uporabljani algoritmi za težka optimizacijska vprašanja prevedejo na kopozitivno optimizacijo. Poleg tega računamo, da bodo na gospodarstvo vplivali tudi naši rezultati s področja semidefinitnega programiranja in polinomske optimizacije na splošno. Pričakujemo, da bomo v okviru projekta razvili nove optimizacijske metode in raziskali njihovo hitrost in natančnost. Poleg tega bo naš študij orientiran tudi v implementiranje algoritmičnih metod, ki so nemudoma uporabne v več področjih naravoslovja, tehnike, ekonomije in drugih ved.
Najpomembnejši znanstveni rezultati
Vmesno poročilo,
zaključno poročilo
Najpomembnejši družbeno–ekonomsko in kulturno relevantni rezultati
Vmesno poročilo,
zaključno poročilo
