Projekti / Programi
01. januar 1999
- 30. april 2002
| Koda |
Veda |
Področje |
Podpodročje |
| 1.01.00 |
Naravoslovje |
Matematika |
|
| Koda |
Veda |
Področje |
| P170 |
Naravoslovno-matematične vede |
Računalništvo, numerična analiza, sistemi, kontrola |
numerična in računalniška matematika, aproksimacija, interpolacija, zlepki, Bezierove krivulje, odsekoma polinomske ploskve, navadne diferencialne enačbe, simplektične metode, iteracija, kvaternioni, cele funkcije
Raziskovalci (6)
| št. |
Evidenčna št. |
Ime in priimek |
Razisk. področje |
Vloga |
Obdobje |
Štev. publikacijŠtev. publikacij |
| 1. |
02506 |
mag. Andrej Kmet |
Matematika |
Raziskovalec |
2001 - 2002 |
99 |
| 2. |
03425 |
dr. Jernej Kozak |
Matematika |
Vodja |
2001 - 2002 |
296 |
| 3. |
03533 |
dr. Mitja Lakner |
Matematika |
Raziskovalec |
2001 - 2002 |
115 |
| 4. |
05952 |
mag. Matija Lokar |
Matematika |
Raziskovalec |
2001 - 2002 |
416 |
| 5. |
09634 |
dr. Bojan Orel |
Matematika |
Raziskovalec |
2001 - 2002 |
124 |
| 6. |
00725 |
dr. Peter Petek |
Matematika |
Raziskovalec |
2001 - 2002 |
312 |
Organizacije (1)
Povzetek
Raziskovalni program se bo navezoval predvsem na tri področja numerične in računalniške matematike: študij zlepkov s poudarkom na interpolaciji in aproksimaciji krivulj in uporabi odsekoma polinomskih funkcij v več dimenzijah, študij novih pristopov v numeričnem reševanju navadnih diferencialni enačb in študij iteracij izbranih celih in meromorfnih funkcij ter kvaternionov.Študirali bomo probleme interpolacije in aproksimacije z geometrijsko zveznimi Bezierovimi zlepki v več dimenzijah, eksistenco, enoličnost, konstrukcijo in red aproksimacije. Ozadje problema tu opredeli stopnja krivulje, število odsekov, število podatkov, stopnja gladkosti geometrijskih količin, dimenzija prostora. Zastavljeni problemi bodo po pravilu nelinearne narave in pogosto se je zato v študiju lastnosti treba omejiti na posebni izbor parametrov. V študiju ploskev si bomo zastavili nekaj odprtih vprašanj o dimenziji prostora odsekoma polinomskih funkcij, kot npr. ali je prostor C1 zveznih kubičnih zlepkov lahko singularen. Drugo izhodišče v študiju ploskev pa bo uporabiti izsledke iz interpolacije in aproksimacije krivulj tudi v aproksimaciji ploskev.V študiju numeričnega reševanja diferencialnih enačb bomo predvsem razvijali bomo metode za reševanje specifičnih razredov diferencialnih enačb. Glavno pozornost bomo namenili metodam, ki ohranjajo določene značilnosti problema, kot so simplektičnost, izospektralnost ali ortogonalnost. V ta namen bo potrebno študirati lastnosti diferencialnih enačb na Liejevih grupah.V študiju dinamike nas bo zanimala predvsem iteracija na dveh področjih:kvaternioni in cele funkcije. Kvaternioni imajo strukturo 4-dimenzionalnega realnega vektorskega prostora in so nekomutativen obseg. Dve karakteristiki ju bistveno očujeta od kompleksnega obsega: nekomutativnost in neskončno vrednosti kvadratnega korena pri realnem negativnem radikandu. Ker obravnavamo kvadratne funkcije v kvaternionskem obsegu, se pojavljajo gladke 2-dim sfere kot praslike, ki potem sestavljajo Juliajevo množico. Obravnava je težavnejša kot v kompleksnem primeru tudi zato, ker v kvaternionih ne obstaja zadovoljiva teorija analitičnih funkcij. Iteracija celih funkcij prevzame nekatere lastnosti iteracije racionalnih funkcij, ob dodatnih pogojih. Raziskane so - pa še to ne popolnoma -- le eksponentna, sinusna in kosinusna družina. Zato bomo študirali splošnejše meromorfne družine.
Pomen za razvoj znanosti
Predlagani raziskovalni program se vključuje v najnovejše raziskave na treh naštetih področjih. Rezultati programa bodo prispevali nova dejstva o Bezierovih krivuljah in njihovi uporabi, o odsekoma polinomskih ploskvah, o numeričnem reševanju sistemov navadnih diferencialnih enačb na Liejevih grupah, o iteraciji v obsegu kvaternionov in iteraciji celih funkcij. Študij krivulj in ploskev je v zadnjih letih eno najbolj živahno se razvijajočih področij numerične matematike, ki je v računalniško podprtem geometričnem oblikovanju dobil tudi svoj neposredni praktični pomen. Prav tako je v zadnjem času postalo pomembno reševanje diferencialnih enačb, ki tudi za numerično aproksimacijo zahtevajo ohranjanje nekaterih invarant, kot so npr. simplektična mnogoterost, izospektralna mnogoterost ipd. Intenzivno raziskovanje iteracije racionalnih funkcij je sedaj prešlo na zahtevnejše probleme, na cele funkcije in kvaternione. Prvi rezultati prinašajo nekaj presenetljivih rezultatov. Zato pričakujemo, da bomo rezultate raziskovalnega programa objavili v tuji periodiki, ki ta področja pokriva.
Pomen za razvoj Slovenije
Pomen predlaganega programa je dvojen. Prvo omenimo vzgojo novih raziskovalcev. S temo "Nekatere poslošitve iteracij racionalnih funkcij" je nedavno doktorilala Marjeta Rugelj-Škapin, asistentka na FGG. S področja iteracije v kvaternionih pripravlja doktorat Mitja Lakner, predavatelj na FGG. S pripravo doktorata s področja Bezierovih krivulj in ploskev je pričel Emil Žagar, pedagoški stažist na FRI. Drug pomen programa pa je v tem, da z raziskovanjem ohranjamo korak z trenutnimi dosežki v svetu. Raziskovalno delo na tem področju omogoča pridobivanje izkušenj in baze znanj, ki jih matematiki lahko ponudimo raziskovalcem in uporabnikom na drugih področjih. Npr. spoznanja o krivuljah in ploskvah se uporabljajo na mnogih mestih v industriji, študij kaotičnih sistemov ponuja pomoč medicini, biologiji, kodiranju slik ipd.,nova spoznanja v reševanju sistemov navadnih diferencialnih enačb bodo lahko uporabljena v učinkovitejšemu modeliranju na raznih področjih naravoslovja in tehnike.
