Projekti / Programi
01. januar 1999
- 31. december 2003
| Koda |
Veda |
Področje |
Podpodročje |
| 1.01.00 |
Naravoslovje |
Matematika |
|
| Koda |
Veda |
Področje |
| P140 |
Naravoslovno-matematične vede |
Vrste, Fourierova analiza, funkcionalna analiza |
algebra, operatorska algebra, linearni ohranjevalec, homomorfizem, antihomomorfizem, Jordanski homomorfizem, odvajanje, spekter, obrnljivost, funkcijska enacba, izometrija, aproksimativni homomorfizem, aproksimativna izometrija
Raziskovalci (4)
| št. |
Evidenčna št. |
Ime in priimek |
Razisk. področje |
Vloga |
Obdobje |
Štev. publikacijŠtev. publikacij |
| 1. |
01639 |
dr. Anton Cedilnik |
Matematika |
Raziskovalec |
2001 - 2003 |
111 |
| 2. |
18750 |
dr. Gregor Dolinar |
Matematika |
Raziskovalec |
2001 - 2003 |
216 |
| 3. |
07680 |
dr. Tatjana Petek |
Matematika |
Raziskovalec |
2001 - 2003 |
129 |
| 4. |
05953 |
dr. Peter Šemrl |
Matematika |
Vodja |
2001 - 2003 |
497 |
Organizacije (1)
Povzetek
Naj bosta A in B Banachovi algebri. Linearni ohranjevalci so linearne preslikave iz A v B, ki ohranjajo kako funkcijo definirano na A in B (zgled: ohranjevalci spektra), kako podmnozico algebre (zgled: ohranjevalci nilpotentov) ali kako relacijo na algebri (zgled: ohranjevalci komutativnosti). Pogosto se izkaze, da so take preslikave Jordanski homomorfizmi ali pa se od takih preslikav razlikujejo za multiplikativno konstanto in perturbacijo skalarnega tipa. Nas bodo zanimali predvsem ohranjevalci spektralnih lastnosti (ohranjanje obrnljivosti, spektralnega radija, kvazinilpotentov) in ohranjevalci komutativnosti. Pri ohranjanju spektralnih lastnosti bomo uporabljali dejstvo, da je spektralni radij analiticne funkcije subharmonicna funkcija. S tem novim pristopom bomo poskusali posplositi in poenostaviti znane rezultate. Pricakujemo tudi, da bodo nase metode prinesle enostavnejse dokaze nekaterih koncnodimenzionalnih rezultatov. Pri ohranjanju komutativnosti se bomo osredotocili na koncnodimenzionalni primer, kjer bomo poskusali z induktivnim pristopom okarakterizirati singularne ohranjevalce komutativnosti. Posvetili se bomo sorodnemu problemu karakterizacije Liejevih homomorfizmov.Ukvarjali se bomo tudi z nelinearnimi perturbacijami izometrij in algebraicnih homomorfizmov. Pricakujemo, da bomo poleg standardnih metod funkcionalne analize morali izboljsati tudi nekatere rezultate iz teorije funkcijskih neenacb, da bi dobili zeljene rezultate o stabilnosti takih preslikav. Na matricnih algebrah lahko definiramo razdaljo med dvema matrikama kot rang njune razlike. Hua je studiral izometrije na matricnih algebrah opremljeno s to metriko brez privzetka linearnosti. Njegovi rezultati so pomembni, ker iz njih sledijo strukturni rezultati za homomorfizme, Jordanske homomorfizme, rezultati o geometriji matrik in rezultati iz teorije grafov. Posebej uporabni so njegovi rezultati o bijektivnih preslikavah, ki ohranjajo razdaljo ena v obe smeri. Analoge njegovih rezultatov bomo poizkusali dokazati brez privzetka bijektivnosti in ob sibkejsi predpostavki ohranjanja razdalje ena samo v eni smeri.Studirali bomo tudi refleksivnost na operatorskih algebrah. Problem refleksivnosti je tesno povezan s pojmom lokalnih homomorfizmov, lokalnih odvajanj, lokalne linearne odvisnosti in algeber s posplosenimi polinomskimi identitetami. Problemi refleksivnosti so po eni strani cisto algebraicni, v kontekstu Banachovih algeber pa moramo upostevati tudi topolosko strukturo (topoloska refleksivnost).
Pomen za razvoj znanosti
Rezultati o linearnih ohranjevalcih so pomembni zaradi dveh razlogov:-ti rezultati nam omogocajo boljse razumevanje lastnosti operatorjev, ki jih te preslikave ohranjajo,-ti rezultati so obrati nekaterih osnovnih trditev v operatorski teoriji. Tako je znano, da avtomorfizmi in antiavtomorfizmi na operatorskih algebrah ohranjajo spekter, komutativnost, nilpotente,... Bolj presenetljivo je, da so avtomorfizmi in antiavtomorfizmi (ali podobne preslikave) edine bijektivne linearne preslikave s temi lastnostmi.Rezultati iz teorije stabilnosti so pomembni zaradi stevilnih uporab. Kot zgled naj omenimo problem stabilnosti za izometrije, ki je povezan s problemom konstrukcije matematicnega modela za nek pojav, pri katerem so razdalje med tockami znane do neke mere natancnosti (napake pri meritvah). Problem ujemanja matematicnega modela z dejanskim stanjem ni nic drugega kot stabilnostni problem za izometrije.Rezultati o geometriji matrik so vazni, ker lahko poenotijo in posplosijo rezultate iz algebre (struktura homomorfizmov), geometrije in teorije grafov.
Pomen za razvoj Slovenije
Slovenija si zeli postati tehnolosko razvita drzava. Razvoj tehnologije na nivoju primerljivim s svetom je nemogoc brez ustreznega razvoja matematicnih znanosti. Po mojih izkusnjah (vec let sem delal na tehniski fakulteti) bo cedalje vec raziskovalcev v tehniki, naravoslovju, pa tudi v druzbenih vedah, potrebovalo matematicno znanje, ce bodo hoteli obdrzati stik s svetom. Pri tem je zanimivo, da se brise meja med uporabno in cisto matematiko. Na marsikaterem podrocju vodilni raziskovalci v svetu danes uporabljajo matematicne rezultate, ki so se do nedavnega veljali za cisto teoreticne (rezultati iz algebre, topologije,...) Jasno, da raziskovalci v drugih znanstvenih panogah uporabljajo statistiko, numericno matematiko, teorijo algoritmov, simbolno racunanje,... Vendar v zadnjem casu raziskovalci zlasti v tehniki cedalje bolj uporabljajo tudi matematicne rezultate iz teorije operatorjev, algebre,...Nemogoce je razvijati aplikativno matematiko brez da bi spodbujali tudi razvoj ciste matematike. Le dobro koncipirana slovenska matematicna sola, ki bo pokrivala cim sirsi spekter matematicnih znanj, bo kos izzivom, ki jih bo prinesla prihodnost. Zato menim, da je za Slovenijo pomemben tudi razvoj podrocja na meji med funkcionalno analizo in algebro. Poleg tega splosnega razloga pa ne gre prezreti dejstva, da je precejsen del operatorske teorije neposredno povezan z uporabami v tehniki in naravoslovju. To se posebej velja za koncnodimenzionalni primer, ki mu bo tudi v okviru nasega programa posvecen precejsen delez casa.
Najpomembnejši znanstveni rezultati
Zaključno poročilo
Najpomembnejši družbeno–ekonomsko in kulturno relevantni rezultati
Zaključno poročilo
