Projekti / Programi
Dvodelni razdaljno-regularni grafi
| Koda |
Veda |
Področje |
Podpodročje |
| 1.01.05 |
Naravoslovje |
Matematika |
Teorija grafov |
| Koda |
Veda |
Področje |
| P001 |
Naravoslovno-matematične vede |
Matematika |
| Koda |
Veda |
Področje |
| 1.01 |
Naravoslovne vede |
Matematika |
Razdaljno-regularni grafi; Q-polinomska lastnost; Terwilligerjeva algebra; uniformne delno urejene množice; delovanje grup na grafih
Raziskovalci (8)
Organizacije (2)
Povzetek
V našem raziskovanju se ukvarjamo s kombinatoričnimi objekti, ki jih imenujemo grafi. Graf je končna množica vozlišč, skupaj z množico nekaterih njenih dvoelementnih podmnožic, ki ji pravimo množica povezav. Elementa vsake povezave sta torej dve različni vozlišči. Če povezava e vsebuje vozlišči x in y, potem pravimo, da sta vozlišči x in y sosednji. Koncept grafa je zelo uporaben, saj se mnoge matematične (pa tudi druge) relacije lahko na zelo preprost način opišejo s pojmom povezanosti.
V našem raziskovanju se bomo ukvarjali s posebno družino grafov, ki jim pravimo razdaljno-regularni grafi. Povezan graf je razdaljno-regularen, če je kardinalnost preseka dveh njegovih sfer odvisna samo od njunih premerov ter od razdalje med središčema. Primeri razdaljno-regularnih grafov so recimo ogrodja petih platonskih teles. Teorija razdaljno-regularnih grafov je povezana z mnogimi drugimi področji matematike, kot so teorija kodiranja, teorija reprezentacij in teorija ortogonalnih polinomov.
Glavni cilj našega raziskovanja je razumeti in klasificirati dvodelne razdaljno-regularne grafe, ki imajo tako imenovano Q-polinomsko lastnost. Za dosego tega cilja bomo študirali tako imenovano Terwilligerjevo algebro grafa G. Terwilligerjevo algebro T največkrat študiramo preko njenih nerazcepnih modulov. Pri študiju nerazcepnih modulov algebre igra pomembnogo parameter, ki ga imenujemo krajišče modula. Med nerazcepnimi moduli algebre T pa posebno mesto zasedajo tako imenovani tanki nerazcepni moduli. Naš glavni cilj bo rešiti naslednji problem:
Klasificiraj tiste dvodelne razdaljno-regularne grafe, katerih algebra T premore do izomorfizma natančno največ dva nerazcepna modula s krajiščem 2, in sta oba ta dva modula tanka.
Razdaljno-regularni grafi s to lastnostjo so tesno povezani z dvodelnimi Q-polinomskimi razdaljno-regularnimi grafi. Zato bi rešitev tega problema pripomogla k boljšemu razumevanju dvodelnih Q-polinomskih razdaljno-regularnih grafov. Poleg zgoraj omenjenega glavnega problema pa bomo poskusili rešiti še vrsto drugih problemov, ki pa so z zgornjim problemom tesno povezani.
Del našega raziskovanja pa bo namenjen tudi raziskovanju delovanja grup na razdaljno-regularnih grafih. Predvsem se bomo ukvarjali s klasifikacijo Cayleyevih razdaljno-regularnih grafov (za različne družine grup), ter razdaljno-regularnih bi- in tri-Cayleyevih grafov (ravno tako za različne družine grup)
Pomen za razvoj znanosti
Poleg umetnosti je matematika edini univerzalni jezik medčloveške komunikacije, ki je prisoten v vseh razvitih civilizacijah. Abstraktne matematične teorije se uporabljajo tako v naravoslovnih znanostih, inženirstvu in računalniških znanostih, kot tudi v socioloških, ekonomskih in biomedicinskih znanostih. Vloga matematike na nekaterih trenutno najbolj pomembnih področijih človekovega udejstvovanja, kot so varno komuniciranje, varovanje podatkov in dekodiranje človeškega genoma, dokazuje, da je njen vpliv na same osnove moderne družbe tako bistven, da si ga v preteklosti nismo mogli niti zamisliti. Tematika projekta predstavlja eno od trenutno najbolj aktualnih področij v teoriji razdaljno-regularnih grafov. Rezultati projekta bodo nedvomno veliko prispevali k trudu raziskovalcev, da bi razumeli (klasificirali) dvodelne Q-polinomske razdaljno-regularne grafe in pa Cayleyeve razdaljno-regularne grafe kot tudi posplošitve le-teh.
Pomen za razvoj Slovenije
Časi hitrih družbenih sprememb zahtevajo, da se matematika še bolj dejavno vključi v tehnološki razvoj Slovenije. Pomen projekta in njegovih rezultatov za razvoj Slovenije vidimo v naslednjih točkah. (1) Projektna skupina je v letu 2014 aktivno sodelovala pri pripravi projekta v okviru programa Obzorje 2020 Teaming za širitev znanstvene, predvsem pa inovacijske odličnosti in širšo udeležbo partnerjev iz držav, katerih kazalec inovacijske odličnosti je pod 70 % povprečja EU27. Prijava je bila uspešna. S pridobljenimi nepovratnimi sredstvi bomo prispevali k zmanjševanju razlik v inovacijski odličnosti med državami članicami ter okrepili konkurenčnost Slovenije v Evropi. (2) Prepoznavnost projekten skupine med raziskovalci v svetu (predvsem preko organizacije številnih mednarodnih konferenc in doktorskih šol) pomeni tudi večjo prepoznavnost slovenske znanosti na svetovnem zemljevidu. (3) Povečanje raziskovalne uspešnosti Univerze na Primorskem v celoti. Zaradi svojega geografskega položaja je Univerza na Primorskem izjemnega pomena za Republiko Slovenijo. V Evropi lahko obstanemo kot razpoznavna entiteta le z ohranitvijo nacionalnega jezika in z visoko izobraženim ljudstvom, ki bo Evropi zmoglo ponuditi kaj izvorno svojega. Zato je zmožnost uporabe različnih komunikacijskih kanalov nujna in matematika, kot univerzalni jezik, je tu ključnega pomena.
Najpomembnejši znanstveni rezultati
Letno poročilo
2011,
2012,
2013,
zaključno poročilo,
celotno poročilo na dLib.si
Najpomembnejši družbeno–ekonomsko in kulturno relevantni rezultati
Letno poročilo
2011,
2012,
2013,
zaključno poročilo,
celotno poročilo na dLib.si
