Projekti / Programi
Pierijeva pravila za polinome Halla in Littlewooda ter Macdonaldove polinome
| Koda |
Veda |
Področje |
Podpodročje |
| 1.01.05 |
Naravoslovje |
Matematika |
Teorija grafov |
| Koda |
Veda |
Področje |
| P110 |
Naravoslovno-matematične vede |
Matematična logika, teorija množic, kombinatorika |
| Koda |
Veda |
Področje |
| 1.01 |
Naravoslovne vede |
Matematika |
Pierijevo pravilo, simetrične funkcije, Schurove funkcije, polinoma Halla in Littlewooda, Macdonaldovi polinomi, k-Schurove funkcije
Raziskovalci (1)
| št. |
Evidenčna št. |
Ime in priimek |
Razisk. področje |
Vloga |
Obdobje |
Štev. publikacijŠtev. publikacij |
| 1. |
22401 |
dr. Matjaž Konvalinka |
Matematika |
Vodja |
2013 - 2015 |
115 |
Organizacije (1)
Povzetek
Schurove funkcije tvorijo najpomembnejšo bazo algebre simetričnih funkcij. Pomembne so ne samo zato, ker so ortonormirana baza s standardnim skalarnim produktom, temveč tudi zaradi povezav s teorijo upodobitev končnih grup in z drugimi vejami kombinatorike in algebre. Njihova zgodovina, ki je tesno povezana z razvojem mnogih področij matematike, sega v devetnajsto stoletje, raziskovanje pa je zelo intenzivno še danes.
Ključen rezultat je pravilo Littlewooda in Richardsona, ki izraža produkt Schurovih funkcij v bazi Schurovih funkcij. Pravilo je zapleteno in je bilo dokazano šele v sedemdesetih letih, a se v nekaterih primerih zelo poenostavi. Tak primer je Pierijevo pravilo, glej (7) v prilogi.
Pravilo ima analoge tudi za polinome Halla in Littlewooda (glej (9)), Macdonaldove P-polinome (glej (10)) in k-Schurove funkcije (glej (11)).
Čeprav ima Pierijevo pravilo mnogo posplošitev, pa je ena smer raziskovanja ostala popolnoma neraziskana do pred kratkim. Assafova in McNamara [1] sta odgovorila na vprašanje, kako naravno zapisati produkt poševne Schurove funkcije z sr oziroma s1...1 s pomočjo poševnih Schurovih funkcij. Njun elegantni rezultat sem v članku [2] posplošil na produkt Schurove funkcije s Pr(t). Glej (13).
V projektu bi želel odgovoriti na naslednja vprašanja.
1. V [2] sem postavil dve domnevi o produktu poševnega polinoma Halla in Littlewooda z sr in s1...1, glej (14), (15); ti domnevi bi sedaj rad tudi dokazal. (14) daje nov rezultat celo za nepoševen primer. Predpostavljam, da se dasta rezultata dokazati s pomočjo metode Hopfovih algeber Lama, Lauva in Sotilla (2010). Zanimal bi me tudi involutiven dokaz.
2. Izračuni s pomočjo računalnika kažejo, da so polinomi, ki se pojavijo v razvoju produkta poševnega polinoma Halla in Littlewooda s Pr(t), precej bolj komplicirani kot tisti v razvoju produkta z sr ali s1...1. Natančneje, kaže, da se pojavijo polinomi, katerih (v Z[t]) nerazcepni faktorji so sicer poljubno visoke stopnje, a imajo zelo nizke cele (pozitivne in negativne) koeficente. Rad bi študiral njihove lastnosti in, če je le mogoče, poiskal eleganten zapis zanje.
3. Kot je zapisano zgoraj, obstaja varianta Pierijevega pravila za Macdonaldove P-polinome, kjer so koeficienti racionalne funkcije. Zaradi tega mi doslej še ni uspelo oblikovati domneve, kako bi se izražal produkt poševnega Macdonaldonovega polinoma s katerokoli od pomembnih funkcij (npr. sr, Pr(t), Pr(q,t)). Zanimiva bi bila tudi varianta (poševnega) Pierijevega pravila za Macdonaldove H-polinome, ki se izražajo v bazi Schurovih funkcij s koeficienti, ki so polinomi v q in t.
4. Obstaja naravno poševno Pierijevo pravilo za k-Schurove funkcije. Ključno sredstvo v [1] in [2] je operacija vstavljanja. Vstavljanje za ogrizke so vpeljali Lam, Lapointe, Morse in Shimozono. V projektu bi rad našel verzijo vstavljanja za omejene razčlenitve in jo uporabil pri involutivnem dokazu.
5. Poskusil bi rad najti pravilo Littlewooda in Richardsona za k-Schurove funkcije, vsaj v kakem posebnem primeru.
Odgovori bodo nedvomno zanimivi za kombinatorično in širšo matematično skupnost. Rezultate nameravam predstaviti v uglednih revijah in na Formal Power Series and Algebraic Combinatorics, najpomembnejši letni konferenci s področja algebraične kombinatorike, na kateri predstavljam svoja dela vsako leto od 2007 naprej. Upam, da bom k sodelovanju privabil tudi tuje znanstvenike, ki bi jih med trajanjem podoktorskega projekta tudi obiskal.
[1] S. H. Assaf, P. R. W. McNamara, A Pieri rule for skew shapes, J. Combin. Theory Ser. A, Vol. 118 No. 1 (2011), 277-290
[2] M. Konvalinka, Skew quantum Murnaghan-Nakayama rule, J. Algebraic Combin., Vol. 35 (4) (2012), 519-545.
[3] I. G. Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford Mathematical Monographs, Second edition, The Clarendon Press Oxford University Press, New York, 1995
Pomen za razvoj znanosti
Tabele ostankov in količnikov, ki sem jih preučeval, imajo potencial, da razrešijo še številna odprta vprašanja s področja k-Schurovih funkcij in sorodnih področij (npr. Gromov-Wittnovih invariant). Prepletogrami so pomembna orodja v biologiji in v teoretičnem računalništvu. Naši rezultati in metode imajo potencial, da razrešijo številna vprašanja na tem področju in so že služili za nastanek vsaj 6 člankov. Matrike z alternirajočim predznakom so področje, ki segajo v 80. leta prejšnjega stoletja. Eden prvih člankov (D. Robbinsa) je predstavil vrsto domnev o preštevanju posebnih podrazredov teh matrik; metode, ki so jo razvili raziskovalci, ki so poskušali te domneve dokazati, so se izkazale za ene najpomembnejših, če ne najpomembnejše na tem področju. V članku z Rogerjem Behrendom in Ilse Fischer smo dokazali še zadnjo od teh domnev in s tem zaključili pomembno poglavje na pomembnem matematičnem področju.
Pomen za razvoj Slovenije
Projekt je omogočil večjo prepoznavnost mene, moje univerze in Slovenije na splošno. Na podlagi raziskovalnega dela je nastalo lepo število člankov v mednarodnih revijah, ki sem jih in jih še bom predstavljal na mednarodnih konferencah - npr. v Vancouvru julija 2016 bom na konferenci FPSAC, najprestižnejši letni konferenci na mojem področju, soavtor kar pri treh znanstvenih referatih. Kot somentor pri doktoratu in mentor dveh magisterijev sem doprinesel tudi k razvoju za slovenski matematični podmladek.
Najpomembnejši znanstveni rezultati
Letno poročilo
2013,
2014,
zaključno poročilo,
celotno poročilo na dLib.si
Najpomembnejši družbeno–ekonomsko in kulturno relevantni rezultati
Letno poročilo
2014,
zaključno poročilo,
celotno poročilo na dLib.si
