Projekti / Programi
Metode algebre in funkcionalne analize v teoriji in praksi finančne matematike
| Koda |
Veda |
Področje |
Podpodročje |
| 1.01.00 |
Naravoslovje |
Matematika |
|
| Koda |
Veda |
Področje |
| P160 |
Naravoslovno-matematične vede |
Statistika, operacijsko raziskovanje, programiranje, aktuarska matematika |
| Koda |
Veda |
Področje |
| 1.01 |
Naravoslovne vede |
Matematika |
afini procesi, simetrični stožci, enoparametrične polgrupe linearnih preslikav, pozitivne preslikave, pozitivni polinomi, semialgebraične množice, vrednotenje izvedenih finančnih inštrumentov, večnaložbene opcije.
Raziskovalci (13)
Organizacije (3)
Povzetek
V tem projektu želimo preučevati enoparametrične polgrupe pozitivnih preslikav, ki so pomembno orodje v finančni matematiki, na primer pri študiju afinih procesov. Ugotoviti želimo, ali na poljubnih simetričnih stožcih obstajajo enoparametrične polgrupe pozitivnih preslikav, katerih generatorjev ni mogoče zapisati kot vsoto pozitivne preslikave in generatorja enoparametrične grupe pozitivnih preslikav. V kolikor take polgrupe obstajajo, želimo preučevati njihovo strukturo. Pri svojem delu si nameravamo pomagati z metodami realne algebraične geometrije in funkcionalne analize, saj generatorji enoparametričnih polgrup pozitivnih preslikav definirajo bikvadratične forme, ki so nenegativne na neki algebraični množici. Spoznanja o afinih procesih bomo uporabili za izdelavo izboljšanih modelov vrednotenja izvedenih finančnih inštrumentov, npr. večnaložbenih opcij.
Pomen za razvoj znanosti
Struktura enoparametričnih polgrup linearnih preslikav, ki ohranjajo nek stožec, je bila pred začetkom projekta dobro raziskana v primeru poliedrskega stožca, v vseh ostalih primerih pa je bilo o takih polgrupah zelo malo znanega. V primeru simetričnega stožca je bilo znanih le nekaj delnih rezultatov o enoparametričnih polgrupah linearnih preslikav, ki ga ohranjajo, in sicer le, če polgrupa izpolnjuje neke posebne pogoje. Zato naši rezultati v splošnem precej novega povedo o njihovi strukturi in nakazujejo smeri nadaljnjega raziskovanja enoparametričnih polgrup linearnih preslikav, ki ohranjajo simetrične stožce. Kot smo domnevali v prijavi projekte, so metode, ki smo jih razvili, uporabne na širšem področju realne algebraične geometrije pri študiju polinomov, ki so nenegativni na neki semialgebraični množici. Zaradi sorodnosti problema se je izkazalo, da so naše metode zelo koristne v primeru, ko študiramo bikvadratne forme, ki so nenegativne povsod. Take bikvadratne forme ustrezajo pozitivnim linearnim preslikavam na simetričnih matrikah. Z našimi metodami smo pokazali, da so med pozitivnimi linearnimi preslikavami popolnoma pozitivne redke, v smislu, da gre razmerje volumnov stožcev proti 0, ko gre velikost matrik proti neskončno. Razvili smo tudi splošno konstrukcijo za konstruiranje primerov pozitivnih, vendar ne popolnoma pozitivnih preslikav na matrikah velikosti 3. Pričakujemo, da je moč naše metode uporabiti pri reševanju nekaterih zanimivih vprašanj v prihodnosti, ki bi še bolj razjasnile stožec pozitivnih preslikav in konstruirale primere pozitivnih preslikav z določenimi lastnostmi. Take so uporabne predvsem v matematični fiziki in kvantni informatiki in ravno s strani strokovnjakov iz teh dveh področij smo poželi precej zanimanja za naše rezultate.
Pomen za razvoj Slovenije
Pomen za slovensko podjetje Ektimo, ki je sofinancer projekta, je podrobneje predstavljen pod točko 12. Sedaj bomo opisali še pomen za slovenski finančni sektor. Projekt je pomemben korak v smeri prenosa finančno-matematičnih znanj iz znanstveno-raziskovalne sfere v gospodarstvo. Tematika vrednotenja izvedenih finančnih inštrumentov je za slovenski finančni sektor zelo relevantna, saj ti predstavljajo osnovo za vse bolj razširjene strukturirane produkte, pri snovanju katerih so slovenska podjetja skoraj v celoti odvisna od tujih ponudnikov finančnih storitev. Večja vključitev domačega znanja pomeni povečanje dodane vrednosti pri prodaji tovrstnih produktov tako na domačem kot na tujih trgih, izboljšan pa je tudi nadzor nad tveganji teh kompleksnih produktov. Finančna matematika je v Sloveniji razmeroma novo področje znanosti. Izvedba projekta pomembno koristi tudi nadaljnjemu razvoju tega področja, saj je šlo za prvi pomembnejši raziskovalni projekt s tovrstno vsebino v Sloveniji. Uspešna izvedba projektnih ciljev tako prispeva k umestitvi Slovenije na zemljevid evropske in svetovne finančne matematike. Hkrati so se s projektom utrdili mednarodne stiki slovenskih raziskovalcev. To še posebej velja za stike z raziskovalci iz ETH v Zürichu, ki so vodilni strokovnjaki na področju finančne matematike in delajo na problemih, ki so povezani z vsebino predlaganega projekta. Člani projektne skupine so bili tudi oskrbniki študijskega programa Finančna matematika na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani, ki se je pričel izvajati na 1. bolonjski stopnji v študijskem letu 2007/2008, na drugi bolonjski stopnji pa 2010/2011. Hkrati so bili tudi nosilci predmetnov z verjtenostno-statističnimi in finančno-matematičnimi vsebinami na doktorskem študiju Matematika in interdisciplinarnem doktorskem študiju Statistika. To je omogočalo, da so se na projekt preko seminarskih, diplomskih in doktorskih nalog vključevali tudi študentje navedenih študijskih programov.
Najpomembnejši znanstveni rezultati
Letno poročilo
2014,
2015,
zaključno poročilo
Najpomembnejši družbeno–ekonomsko in kulturno relevantni rezultati
Letno poročilo
2014,
2015,
zaključno poročilo
