V monografiji so poudarjene tiste osnovne abstraktne metode in teorije, ki so uporabne pri proučevanju nelinearnih robnih problemov. Vsebina je razvita v šestih poglavjih, ki podajajo temeljit uvod v tehnike za variacijsko in topološko analizo nelinearnih robnih problemov, ki jih opisujejo stacionarni diferencialni operaterji. Avtorji podajajo sistematično obravnavo osnovne matematične teorije in konstruktivnih metod za te razrede nelinearnih enačb ter njihovo uporabo v različnih procesih, ki se pojavljajo v uporabnih znanostih. Prikazujejo, kako so te različne teme povezane z drugimi pomembnimi deli matematike, vključno s topologijo, funkcionalno analizo, matematično fiziko in teorijo potencialov. V knjigi se ohranja ravnovesje med teoretično matematiko in fizikalno uporabo. Knjiga je namenjena doktorskim študentom ter raziskovalcem v teoretični in uporabni nelinearni analizi. Opomba: po kriterijih ARRS knjiga sodi med izjemne raziskovalne dosežke, z maksimalno možno oceno (A''=1) in je najbolj citirana knjiga v Mathematical Reviews med vsemi monografijami na svetu, ki so izšle leta 2019.
COBISS.SI-ID: 18583897
Robinov robni pogoj je poimenovan po francoskem matematiku Victorju Gustaveu Robinu in je kombinacija vrednosti funkcije in vrednosti njenih odvodov na robu domene. To pomeni, da je Robinov robni pogoj ponderirana kombinacija Dirichletovih in Neumannovih robnih pogojev. Članek obravnava matematično analizo rešitev nekih semilinearnih Robinovih problemov z negativnim Laplceovim operatorjem in nedoločenim potencialom. Ena od lastnosti članka je prisotnost superlinearnega reakcijskega člena, ki lahko ne zadošča standardnemu pogoju rasti Ambrosetti-Rabinowitza. Glavni rezultat potrdi obstoj in večkratnost rešitev. V zadnjem delu članka generiramo neskončno mnogo netrivialnih gladkih rešitev z vpeljavo simetrije na reakcijskem členu. Dokazi kombinirajo močne variacijska, topološka in analitična orodja vključno s tehnikami skrajšanja in perturbacije, Morseovo teorijo (kritičnih grup) in Ljapunov-Schmidtovo redukcijsko metodo. Razni primeri ilustrirajo glavne abstraktne rezultate članka. Opomba: Journal of Differential Equations (založba Elsevier) se šteje med vodilne revije na našem področju in v njej naša projektna skupina pogosto objavlja. Po kriterijih ARRS je ta članek zelo kvaliteten dosežek, z maksimalno možno oceno (A'=1).
COBISS.SI-ID: 18034521
Namen članka je bil študij obstoja šibkih rešitev za neke razrede hemivariacijskih problemov v evklidskem prostoru dimenzije d)2. Te hemivariacijske neenačbe imajo variacijsko strukturo in zato lahko zanje najdemo netrivialno šibko rešitev z uporabo variacijskih metod in neko negladko verzijo Palaisovega principa simetrične kritičnosti za lokalno Lipschitzevo zvezne funkcionale, ki sta jo formulirala Krawcewicz in Marzantowicz. Glavna orodja v našem pristopu temeljijo na primernih teoretičnih argumentih na ustreznih podgrupah ortogonalne grupe O(d) in njihovih delovanj na prostor Soboljeva H^1(R^d). Še več, pri dodatnih pogojih na dimenzijo d in ob prisotnosti simetrije za nelinearni člen je dokazan obstoj več parov rešitev s spremenljivim predznakom in različno simetrijsko strukturo. V povezavi s klasičnimi Schrödingerjevimi enačbami je predstavljen konkreten in pomenljiv primer aplikacije. Opomba: Advances in Nonlinear Analysis (založba De Gruyter) je že več let zapored zelo visoko uvrščen na seznamu Science Citation v dveh kategorijah: "Matematika" in "Uporabna matematika" in v tej reviji je naša projektna skupina doslej objavila že veliko člankov. Po kriterijih ARRS je ta članek zelo kvaliteten dosežek, z maksimalno možno oceno (A'=1).
COBISS.SI-ID: 18703961
V tem odmevnem članku se obravnava kvalitativna analiza nekega razreda nelinearnih evolucijskih inkluzij drugega reda. Značilnost tega prispevka je prisotnost ne-monotonega in izraza nevsiljene viskoznosti. Novost tega članka je ta, da razvija nekakšno parabolično regularizacijo inkluzije, ki jo je najprej uvedel Jacques-Louis Lions v kontekstu polarnih hiperboličnih enačb. Na tak način, z uporabo negladke Clarkeove teorije v kombinaciji z a priornimi ocenami, ki omogočajo prehod v limito, dobimo zadosten pogoj za obstoj rešitev. Glavni abstraktni rezultat tega prispevka je ilustriran s hiperboličnimi robnimi vrednostmi s prisilnim izrazom. Metode, vpeljane v tem prispevku, lahko razširimo na druge razrede nelinearnih problemov evolucijske neenakosti. Ta članek tudi razširja na okvir evolucijskih inkluzij nekatere ideje, ki smo jih razvili v naši monografiji V. Radulescu, D. Repovš, Partial Differential Equations with Variable Exponents: Variational Methods and Qualitative Analysis, Francis & Taylor, New York, 2015 [COBISS.SI-ID 17325401] v okviru problemov z variabilnim eksponentom. Opomba: Journal of Differential Equations (založba Elsevier) se šteje med vodilne revije na našem področju in v njej naša projektna skupina pogosto objavlja. Po kriterijih ARRS je ta članek zelo kvaliteten dosežek, z maksimalno možno oceno (A'=1).
COBISS.SI-ID: 18207321
Obravnavamo naslednji nelinearni problem Kirchhoffovega tipa $$\begin{cases} - \Big (a+b \int_{\mathbb{R}^3} |\nabla u|^2 \Big) \Delta u + V(x)u = f(u), & \text{in} \quad\mathbb{R}^3 \; , \\ u \in H^1 (\mathbb{R}^3) \; , \end{cases}$$ kjer sta a,b ) 0 konstanti, nelinearni člen f je superlinearen v neskončnosti, s subkritično rastjo, V pa je zvezna in vsiljena funkcija. V primeru, ko je f liha funkcija za u, dobimo z uporabo kombinacije invariantnih množic in mini-maks metode Ljusternik-Schnirelmanovega tipa neskončno mnogo rešitev s spremenljivim predznakom za ta problem. Kolikor je nam znano, je bilo doslej najdenih le malo eksistenčnih rezultatov za ta problem. Velja omeniti, da nelinearni člen ni nujno 4-superlinearen v neskončnosti, konkretno vključuje nelinearnost potenčnega tipa |u|^{p-2}u za p iz intervala (2,4]. Opomba: Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications (založba Elsevier) se šteje med vodilne revije na našem področju in v njej naša projektna skupina pogosto objavlja. Po kriterijih ARRS je ta članek zelo kvaliteten dosežek, z maksimalno možno oceno (A'=1).
COBISS.SI-ID: 18506585