V članku razvijemo splošno teorijo urejenostnih izomorfizmov operatorskih intervalov. S tem poenotimo in posplošimo več že znanih rezultatov, med drugim znamenito Ludwigovo karakterizacijo orto-urejenostnih avtomorfizmov efektne algebra in Molnárjev opis bijektvnih ohranjevalcev urejenosti na množici sebi-adjungiranih operatorjev. Poleg nekaterih novih rezultatov je glavni prispevek članka elementaren enoten dokaz več znanih izrekov, katerih originalni dokazi so bili precej bolj zapleteni in so sloneli ne netrivialnih orodjih funkcionalne analize, operatorske teorije in geometrije. Z uporabo Löwnerjeve teorije operatorsko monotonih funkcij pokažemo optimalnost dobljenih rezultatov.
COBISS.SI-ID: 18263641
Botelho, Jamison in Molnár [F. Botelho, J. Jamison, L. Molnár, Surjective isometries on Grassmann spaces, J. Funct. Anal. 265 (2013) 2226-2238] ter Gehér in Šemrl [G.P. Gehér, P. Šemrl, Isometries of Grassmann spaces, J. Funct. Anal. 270 (2016) 1585-1601] so nedavno opisali splošno obliko surjektivnih izometrij Grassmannovih prostorov vseh projektorjev fiksnega končnega ranga delujočih na Hilbertovem prostoru $H$. Kot direktno posledico lahko opišemo splošno obliko surjektivnih izometrij Grassmannovih prostorov vseh projektorjev fiksnega končnega koranga. V tem članku rešimo edini še preostali strukturni problem za surjektivne izometrije na $P_\infty (H)$, Grassmannovem prostoru vseh projektorjev z neskončno dimenzionalno sliko in neskončno dimenzionalnim jedrom. Ideja je povsem drugačna od tistih uporabljenih v omenjenih člankih, in temelji na študiju geodetk. Ta metoda omogoča alternativne dokaze že prej znanih izrekov.
COBISS.SI-ID: 18384473
Naj bo $\mathbb{D}$ ne nujno komutativen obseg, $n \geq 3$ naravno število in $P_n(\mathbb{D})$ delno urejena množica vseh $n \times n$ idempotentnih matrik nad $\mathbb{D}$, pri čemer je delna urejenost definirana s predpisom: $P \leq Q$, če velja $PQ = QP = P$. Naj bo $T \in M_n(\mathbb{D})$ obrnljiva matrika in $\sigma : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ endomorfizem ($\tau : \mathbb{D} \to \mathbb{D}$ anti-endomorfizem). Za vsak $P \in P_n(\mathbb{D})$ označimo z $P^\sigma$ ($P^\tau$) idempotentno matriko, ki jo dobimo tako, da vsak člen matrike $P$ preslikamo s preslikavo $\sigma(\tau)$. Preslikava $\phi : P_n(\mathbb{D})\to P_n(\mathbb{D})$ definirana s predpisom $\phi(P) = TP^\sigma T^{- 1},\ P \in P_n(\mathbb{D})\ (\phi(P) = T ^t(P^\tau) T^{- 1},\ P \in P_n(\mathbb{D}))$ je injektivna in ohranja urejenost v obe smeri. Vsaki taki preslikavi rečemo standardna. Že prej je bilo znano, da je v primeru, ko je $\mathbb{D}$ EAS obseg, vsak injektiven ohranjevalec urejenosti $\phi : P_n(\mathbb{D}) \to P_n(\mathbb{D})$ bodisi standarden bodisi ima zelo posebno degenerirano obliko. Z uporabo idej iz geometrije algebraičnih homogenih prostorov in teorije polj podamo primere, ki pokažejo, da ta rezultat brez EAS predpostavke ne drži. Nato definiramo posplošene standardne preslikave in z njihovo pomočjo opišemo splošno obliko injektivnih ohranjevalcev urejenosti na $P_n(\mathbb{D})$ za poljuben obseg $\mathbb{D}$. Ob EAS predpostavki dobimo krajši dokaz prej omenjenega izreka. Direktna...
COBISS.SI-ID: 18728281
Naj bo $D$ obseg in naj bo $\phi:M_n(D)\to M_n(D)$, $n\ge 2$, ne nujno aditivna preslikava z lastnostjo, da iz $AB=0$ sledi $\phi(A)\phi(B)=0$. V članku opišemo obliko $\phi$ pri različnih predpostavkah glede na $\phi$, $n$ oz. $D$, in pokažemo s primeri, da so te predpostavke potrebne.
COBISS.SI-ID: 15279363
Dokažemo, da je vsaka zvezna preslikava na štiri-dimenzionalnem prostoru Minkowskega, ki ohranja svetlobne stožce v eni smeri, bodisi Poincaréjeva podobnost, to je produkt Lorentzove transformacije in dilacije, bodisi ima zelo posebno degenerirano obliko.
COBISS.SI-ID: 18656857