Članek posploši klasični realni izrek o ničlah Duboisa in Rislerja na leve ideale v prostih algebrah z involucijo $\mathbb{R} \langle x, x^\ast \rangle$, kjer je $x = (x_1, \dots , x_n)$. Najprej uvedemo pojma (nekomutativne) množice ničel levega ideala in realnega levega ideala. Nato dokažemo, da vsak element iz $\mathbb{R} \langle x, x^\ast \rangle$, čigar množica ničel vsebulje presek množic ničel elementov iz končne podmnožice $S$ v $\mathbb{R} \langle x, x^\ast \rangle$, pripada najmanjšemu realnemu levemu idealu, ki vsebuje množico $S$. V nadaljevanju podamo algoritem, ki za vsako končno podmnožico $S$ v $\mathbb{R} \langle x, x^\ast \rangle$ izračuna najmanjši realni levi ideal, ki vsebuje množico $S$. Dokažemo tudi, da se algoritem ustavi v končnem številu korakov. Definicije in nekateri rezultati se posplošijo tudi na druge $\ast$-algebre. Kot primer obravnavamo realne leve ideale v $M_n(\mathbb{R}[x_1])$.
COBISS.SI-ID: 16636249
Multiplikator Bogomolova je grupno teoretična invarianta, ki je izomorfna nerazvejeni Brauerjevi grupi danega kvocientnega prostora. V članku izpeljemo homološko različico te invariante, dokažemo Hopfovo formulo in opišemo njeno vlogo v teoriji centralnih razširitev. Podamo nov opis multiplikatorja Bogomolova za grupe, ki so nilpotentne razreda 2. Poleg tega definiramo multiplikator Bogomolova v kontekstu K-teorije in pokažemo, da je problem trivialnosti te invariante ekvivalenten znanemu odprtemu problemu iz K-teorije, ki ga je zastavil Bass. Na koncu opišemo algoritem za računanje multiplikatorja Bogomolova.
COBISS.SI-ID: 16521305
Članek predstavi matrične relaksacije linearne matrične neenakosti $L(x) ) 0$, pri katerih namesto skalarjev $x_j$ za spremenljivke vstavljamo simetrične matrike $X_j$. Osrednje spoznanje prispevka je, da je relaksirana LMI dominacija enakovredna klasičnemu problemu iz operatorskih algeber. Namreč problemu, ali je linearna preslikava med vektorskima podprostoroma matričnih algeber "popolnoma pozitivna".
COBISS.SI-ID: 16592985
Dokažemo splošen arhimedski izrek o pozitivnosti za hermitske operatorske polinome. Odtod izpeljemo posplošitve Dritschel-Rovnyakove operatorske verzije Fejer-Rieszovega izreka za trigonometrične polinome v več spremenljivkah, Ambrozie-Vasilescovega in Scherer-Holovega izreka o pozitivnosti ter sorodnih izrekov. Glavni korak v dokazu je posplošitev abstraktnega arhimedskega izreka o pozitivnosti za algebre z involucijo.
COBISS.SI-ID: 15997529
Naj bo $X$ kompleksen Banachov prostor razsežnosti vsaj 2 in naj bo $\mathcal{S}$ multiplikativna polgrupa operatorjev na $X$ z lastnostjo, da je za vsak par $\{S,T\} \subset \mathcal{S}$ rang komutatorja $ST-TS$ največ 1. Če polgrupa $\mathcal{S}$ ni komutativna, potem dokažemo, da ima netrivialen invarianten podprostor. Kot posledico dobimo trikotljivost polgrupe $\mathcal{S}$, kadar jo sestavljajo polinomsko kompaktni operatorji. Ta rezultat je skupna posplošitev izreka iz [H.Radjavi, P. Rosenthal, From local to global triangularization, J. Funct. Anal. 147 (1997) 443-456] in izreka iz [G. Cigler, R. Drnovšek, D. Kokol-Bukovšek, T. Laffey, M. Omladič, H. Radjavi, P. Rosenthal, Invariant subspaces for semigroups of algebraic operators, J. Funct. Anal. 160 (1998) 452-465].
COBISS.SI-ID: 15167321