Pojem vlaknenja sodi med velike združevalne matematinčne ideje. Pojavil se je okoli leta 1930 v geometriji in topologiji in se je postopoma razširil na ostala področja matematike. Skupaj z nekoliko starejšim pojmom svežnja, je vlaknenje formalizacija predstave o zvezni družini prostorov in zvezni družini operacij na teh prostorih. V pričujoči monografiji je podan pregled osnovnih idej in tehnik teorije vlaknenj, s posebnim poudarkom na njihovi klasifikaciji. Podrobno so predstavljeni najpomembnejši razredi vlaknenj (Hurewiczeva, Doldova in Serrova vlaknenja ter kavazivlaknenja). Opisane so relacije med temi tipi vlaknenj ter vrsta primerov in protiprimerov. Ena najbolj izrazitih lastnosti vlaknenj je, da jih lahko klasificiramo s pomočjo homotopskih razredov preslikav v tako imenovane klasifikacijske prostore. Klasifikacija vlaknenj je opisana na različnih ravneh, abstraktno, z uporabo teorije reprezentabilnih funktorjev, in konstruktivno, z opisom različnih konkretnih modelov za klasifikacijske prostore, ki so jih vpeljali Dold in Lashof ter Milgram in Steenrod. V nekaj desetletjih po oblikovanju pojma je nastala cela vrsta variant in podvariant in pripadajočih klasifikacijskih rezultatov, kar je motiviralo Petra Maya, da je vpeljal se splošnejša F-vlaknenja, ki so vendarle dovolj strukturirana, da omogočajo uporabno klasifikacijsko teorijo. Drugi del knjige je posvečen poglobljenemu študiju F-vlaknenj. Knjiga je v precejšnji meri neodvisna od ostalih virov, od bralca pa pričakuje predznanje splošne topologije in nekaj osnovne homotopske teorije, vključno z elementarnimi lastnostmi homotopskih grup. Kljub temu je raven zahtevnosti razlage dokaj visoka, zato je zaželeno predznanje na področju algebraične topologije in teorije svežnjev; tako za motivacijo, kot za ponazoritev ravni zahtevnosti. Večina poglavije je dopolnjena z zgodovinskimi opombami, ki predstavijo nastanek uporabljenih pojmov in njihov razvoj v kontekstu klasifikacijske teorije svežnjev in vlaknenj.
F.02 Pridobitev novih znanstvenih spoznanj
COBISS.SI-ID: 16616793To je bil ciklus vabljenih plenarnih predavanj našega postdoktorskega raziskovalca na mednarodnem srečanju v Kobeju na Japonskem, v katerem je predstavil naslednje nove rezultate naše skupine: 1. Cayleyi grafi in osnovne invariante grup 2. Asimpotičma dimenzija in Švarc-Milnorjeva lema 3. Hiperbolične grupe 4. Asimptotični stožci Njegova predavanja so naletela na veliko zanimanje in po njih je vedno sledila živahna razprava. Obisk na Japonskem je bil v okviru našega dolgoletnega sodelovanja z japonskimi geometrijskimi topologi, ki jih vodi Katsuya Eda iz Univerze Waseda v Tokiu.
B.04 Vabljeno predavanje
COBISS.SI-ID: 16560473Študiramo zvezo med \lor-razcepi koH-prostora C ter razcepi enice na vsoto paroma ortogonalnih idempotentov v sliki reprezentacije [C,C] \to \text{End}(H_\ast(G)). Pokažemo, da je slika te reprezentacije polperfekten kolobar za vsak končen p-lokalen koH-prostor C, od koder sledi krepka različica Wilkersonovega izreka. Osnova za razpravo je opis algebrske strukture na [C,C], ki jo imenujemo zančni skoraj kolobar. Vpeljemo lokalne zančne skoraj kolobarje in dokažemo izrek o enoličnosi \lor-razcepov koH-prostorov, ki je povsem analogen Krull-Schmidt-Azumayinemu izreku za module. Dualni rezultati veljajo za H-prostore.
D.09 Mentorstvo doktorandom
COBISS.SI-ID: 16196441V doktoratu opišemo algoritem, ki nam vrne razcep končnega regularnega celularnega kompleksa z diskretno Morseovo funkcijo na padajoča in naraščajoča področja. Razcep je diskretni analog Morse-Smaleovi dekompoziciji gladke mnogoterosti z gladko Morseovo funkcijo na padajoče in naraščajoče diske. V primerjavi z ostalimi algoritmi je glavna prednost našega ta, da deluje (vsaj v teoriji) na celularnih kompleksih poljubne (a končne) dimenzije. Zaradi časovne zahtevnosti algoritma pa se v praksi izkaže, da ni primeren za obravnavo kompleksov višjih dimenzij. Pokažemo, da se algoritem konča v končno mnogo korakih in da vsa območja po končno mnogo subdivizijah postanejo odprti topološki diski. Analiziramo časovno zahtevnost algoritma ter njegovo delovanje prikažemo na nekaj primerih. Nazadnje si ogledamo diskretno Morseovo teorijo na neskončnih lokalno končnih celularnih kompleksih. Podamo zadosten pogoj, da diskretno vektorsko polje V na takšnem kompleksu izhaja iz prave diskretne Morseove funkcije.
D.09 Mentorstvo doktorandom
COBISS.SI-ID: 15185241Pojem topološke kompleksnosti je vpeljal Farber leta 2001 kot merilo nezveznosti v pravilih, ki opisujejo gibanje robota po konfiguracijskem prostoru. Približno sedem let kasneje sta Iwase in Sakai vpeljala monoidno topološko kompleksnost in pokazala, da gre za poseben primer bazirane vlakenske Lusternik-Schnirelmannove kategorije. S pomočjo tega rezultata lahko številne metode s področja LS kategorije, ki imajo ustrezne vlakenske različice, uporabimo za izpeljavo sorodnih rezultatov za monoidno topološko kompleksnost. Skoraj neposredno iz vlakenske definicije izpeljemo zgornjo mejo za topološko kompleksnost preslikavnega teleskopa. Z nekaj več truda pridemo do dveh alternativnih vlakenskih definicij monoidne topološke kompleksnosti, sorodnih Whiteheadovi in Ganejevi definiciji LS kategorije. Iz vlakenskega diagrama, ki povezuje obe definiciji, dobimo številne spodnje meje za monoidno topološko kompleksnost. Med njimi sta še posebej pomembni šibka in stabilna topološka kompleksnost. Dobljene spodnje meje primerjamo med seboj, raziščemo pa tudi nekaj primerov, ko veljajo enakosti.
D.09 Mentorstvo doktorandom
COBISS.SI-ID: 263847936