Grupa se imenuje pravilno 3-realizabilna, če je fundamentalna grupa nekega kompaktnega poliedra, katerega univerzalni krovni prostor je pravilno homotopsko ekvivalenten neki topološki 3-mnogoterosti. Dokazali smo, da kadar je takšna grupa tudi kvazi-enostavno filtrirana, potem ima pro(končno generirano prosto) fundamentalno grupo v neskončnosti in semistabilne konce. Domneva se, da je pogoj o kvazi-enostavni filtraciji odvečen. Uporabljajoč te omejitve, smo poiskali prve znane primere končno prezentiranih grup, ki niso enostavno 3-realizabilne, npr. velike družine Coxeterjevih grup.
COBISS.SI-ID: 16297817
Za poljuben kompakten pravokoten polieder R v prostoru Lobačevskega {\mathbb H}^3 naj {\rm{vol}}(R) označuje njegovo prostornino in {\rm{vert}}(R) število njegovih oglišč. Atkinson je nedavno našel zgornjo in spodnjo mejo za vrednosti {\rm{vol}}(R), izraženi s pomocjo {\rm{vert}}(R). S konstrukcijo dvoparametrične družine poliedrov v članku dokažemo, da je asimptotična zgornja meja 5v_3/8, kjer v_3 označuje prostornino idealnega pravilnega tetraedra v {\mathbb H}^3, dvojna limitna točka kvocientov {\rm{vol}}(R)/{\rm{vert}}(R). Poleg tega v članku izboljšamo spodnjo mejo za primer, ko je {\rm{vert}}(R) \leqslant 56.
COBISS.SI-ID: 15843929
V članku proučujemo konkordancne lastnosti "vzporednih spletov" P(K), ki so (2,0) kabli vozla K. Predvsem se osredotočimo na vprašanje: "Ali mora biti K konkordanten nevozlu, če je P(K) konkordanten razcepnemu spletu?" Pokažemo, da je v primeru, ko je P(K) gladko konkordanten razcepnemu spletu, veliko gladkih konkordančnih invariant vozla K trivialnih, posebej to velja za \tau in s-invarianti, kot tudi za ustrezno normalizirane d-invariante Dehnovih kirurgij na K. Obravnavamo tudi posplošitve na (2,2\ell)-kable P_{\ell}(K), za katere najdemo ovire za gladko konkordanco do vsote (2,2\ell) torusnega spleta in razcepnega spleta.
COBISS.SI-ID: 16946265
Vprašanje o realizaciji končnih grup v obliki fundamentalnih grup kompaktnih metričnih prostorov je bilo dolgo časa odprto. Take realizacije je razmeroma lahko konstruirati v okviru metričnih ali kompaktnih prostorov. Kombinacija obeh lastnosti pa je za fundamentalno grupo zelo restriktivna. Problem so obravnavali mnogi topologi (vključno s Cannonom in Connerjem) vendar do rešitve niso prišli. V tem članku dokažemo, da je možno vsako končno grupo realizirati kot fundamentalno grupo kompaktnega podprostora v {\mathbb R}^4. V skladu z izrekom Shelaha [S. Shelah, Proc. Amer. Math. Soc. 103, no. 2, (1988), 627-632] omenjeni prostori niso lokalno s potmi povezani, če grupa ni končno predstavljiva. Izrek je dokazan z eksplicitno konstrukcijo prostora X_G za vsako števno grupo G.
COBISS.SI-ID: 16654681
Nedavne raziskave v grobi geometriji ali geometriji v velikem merilu so pokazale podobnosti med nekaterimi pojmi analize, geometrije v velikem merilu in topologije. Lastnost A, ki jo je vpeljal Yu, je grobi analog amenabilnosti za grupe in za njeno posplošitev (eksaktni prostori) se je z razčlenitvami enote izkazalo, da je grobi analog parakompaktnih prostorov. V članku poglobimo analogijo med grobo amenabilnostjo in parakompaktnostjo. Med drugim definiramo grobi analog parakompaktnosti, modeliran po karakterističnih lastnostih ekspanderjev. S to analogijo podamo enostavni dokaz, da so tri kategorije prostorov grobo neamenabilne: ekspanderji, prostori grafov z obodom, ki gre proti neskončnosti, in unije potenc končne netrivialne grupe.
COBISS.SI-ID: 16935513