To je nepričakovan primer uporabe principov in metod splošne topologije v teoriji množic. Glavni pomen članka je namreč v odkritju, da Mengerjeva krovna lastnost filtrov karakterizira neko klasično kombinatorno lastnost asociiranega Mathiasovega forcinga. V seriji člankov so prominentni topolog Michael Hrusak in drugi intenzivno proučevali neki tip filtrov s to lastnostjo, ki jo je vpeljal Canjar. V našem članku smo dokazali, da ima filter Canjarjevo lastnost natanko tedaj, ko je Mengerjev v standardni topologiji. To je omogočilo bogato znanje o Mengerjevi lastnosti uporabno za Canjarjeve filtre. V posebnem tudi mnogi že znani rezultati sledijo neposredno iz naše karakterizacije.
COBISS.SI-ID: 17556057
Eden glavnih nerešenih problemov teorije množic realnih števil je obstoj nevitkih P-filtrov. Zato je pomembno izboljšanje razumevanja takih filtrov na primer z ugotavljanjem njihovih dodatnih lastnosti, ki bi pomagala razrešiti omenjeni problem. V tem članku smo podali več topoloških in kombinatornih lastnosti, ki so za filtre na w ekvivalentne nevitkim P-filtrom. V posebnem smo pokazali, da je filter števno gosto homogen natanko tedaj, ko je nevitek P-filter. Tu je filter identificiran s podprostorom od 2^w, ki ga karakterizirajo neke funkcije. Spotoma posplošimo neki rezultat Millerja o P-točkah na nevitke P-filtre in pridobimo novi dokaz nekega rezultata Marciszewskega. Ena od sestavin glavnega dokaza je globoki izrek Hernandez-Gutierrez in Hrusaka, odgovorimo pa tudi na dve njihovi vprašanji. Glavni rezultat našega članka razreši tudi razna vprašanja, ki sta jih postavila Medini in Milovich. Poleg tega smo dokazali, da je “Vsak nevitek filter vsebuje nevitek P-podfilter.” Neodvisna od ZFC (bolj natančno: velja v Millerjevem modelu in njena negacija je posledica Jensenovega karo-principa). Omeniti gre, da iz rezultatov Hrusaka in van Milla sledi, da ima v Millerjevem modelu filter manj kot c tipov števnih gostih podmnožic natanko tedaj, ko je nevitek P-filter. V posebnem v tem modelu obstaja ultrafilter s c tipi števnih gostih podmnožic. V članku tudi pokažemo, da tak ultrafilter obstaja pri nekem majhnem delu Martinovega aksioma. Rezultati tega članka so zbudili precej zanimanja pri matematikih, ki se ukvarjajo s teorijo množic kakor tudi pri topologih. Omenimo lahko, da so nedavno J. Brendle, B. Farkas in J. Verner začeli sodelovati pri študiju ultrafiltrov, ki vsebujejo nevitke stolpe, kar je tema izvirajoča iz našega članka.
COBISS.SI-ID: 17439577
Dokazali smo, da za vsako vitko relacijo na poljskem prostoru X obstaja nikjer vitki podprostor Y od X, ki je prost glede na to relacijo, kar pomeni, da noben par elementov v Y ne leži v tej relaciji. Problem iskanja “velikih” prostih množic Y za neke “majhne” relacije je klasična tema, ki so se je lotili mnogi prominentni raziskovalci kot na primer Mycielski, Kuratowski, Solecki in Pawlikowski. Glavni rezultat članka že uporabljajo Banakh in sodelavci pri študiju tako imenovanih superkompaktnih prostorov. Rezultati tega članka so zbudili veliko zanimanja raziskovalcev teorije množic in topologov. Omenimo, da sta pred kratkim J. Brendle in B. Farkas začela sodelovati na področju prostih množic glede na relacije, ki ležijo v drugih idealih z deskriptivno naravo na primer v idealu Lebesgueovih ničelnih množic.
COBISS.SI-ID: 17310809