Naj bosta $R$ in $S$ enotski algebri. Če je $X$ $d$-prosta podmnožica $R$ in je $S$ končno razsežna, potem je $\mathfrak{X} = \{x \otimes s\,|\,x \in X,s \in S\}$ $d$-prosta podmnožica algebre $R \otimes S$. Predpostavka o končni razsežnosti $S$ je v splošnem potrebna. Za nekatere pomembne funkcijske identitete pokažemo, da imajo samo standardne rešitve tudi brez te predpostavke.
COBISS.SI-ID: 17625945
Botelho, Jamison in Molnar so nedavno poiskali splošno obliko surjektivnih izometrij na Grassmannovih prostorih nad kompleksnimi Hilbertovimi prostori ob nekaterih dimenzijskih omejitvah. Mi podamo nov pristop k temu problemu, ki vodi h krajšemu dokazu in hkrati uspe odpraviti vse dimenzijske omejitve. V enem izmed nizko-dimenzionalnih primerov, ki ni bil zajet v Botelho-Jamison-Molnarjevem rezultatu, se pojavi nestandardna oblike izometrij. Naš pristop reši tudi analogen problem nad realnimi Hilbertovimi prostori. Nad končno-dimenzionalnim prostori vsi ti izreki veljajo brez predpostavke surjektivnosti. V dokazih se mešajo topološke in geometrijske metode s tehnikami linearne algebre. Na nov način dokažemo znameniti Halmosev izrek o dveh projektorjih. Za dosego naših ciljev moramo izboljšati Györy-Šemrlov opis ohranjevalcev pravokotnosti na Grassmannovih prostorih. Pri tem uporabimo Chowov fundamentalni izrek o geometriji Grassmannovih prostorov.
COBISS.SI-ID: 17641561
Fundamentalni izrek geometrije pravokotnih matrik opiše splošno obliko bijekcij na prostoru $m \times n$ matrik nad obsegom $\mathbb{D}$, ki ohranjajo sosednost v obe smeri. V štiridesetih letih je ta izrek dokazal Hua, nedavno pa so bile dobljene nekatere izboljšave. Take preslikave lahko študiramo brez privzetka bijektivnosti, lastnost ohranjanja lahko nadomestimo s šibkejšo predpostavko, da se sosednost ohranja zgolj v eno smer in končno, preučujemo lahko še ohranjevalce sosednosti, ki delujejo mad prostori matrik različnih velikosti. Optimalni rezultat bi opisal preslikave, ki ohranjajo sosednost zgolj v eno smer in delujejo med prostori matrik različnih velikosti brez kakršnihkoli predpostavk o regularnosti (injektivnost ali surjektivnost). Obseg je EAS, če ni izomorfen nobenemu pravemu podobsegu. Že od prej je bilo znano, da je mogoče skonstruirati "divje" ohranjevalce sosednosti na matrikah nad obsegi, ki niso EAS. Za matrike nad EAS obsegi pa je bilo nedavno dokazano, da so ohranjevalci sosednosti med matričnimi prostori različnih dimenzij, ki zadoščajo neki šibki verziji surjektivnosti, bodisi degenerirani bodisi imajo pričakovano standardno obliko. To trditev dokažemo brez privzetka o šibki surjektivnosti in na ta način dokončno rešimo dolgo odprt problem o optimalni verziji Huajevega izreka.
COBISS.SI-ID: 17371993
Članek obravnava določene funkcijske identitete na algebri matrik $M_n$, ki so definirane podobno kot identitete s sledjo, le da so "koeficienti" poljubni polinomi, ne le ti, ki izhajajo iz sledi. Glavna tema članka je vprašanje, ali taka identiteta izhaja iz Cayley-Hamiltonove identitete. Za več posebnih primerov pokažemo, da je to res. Še več, za vsak centralni polinom $c$ z ničelnim konstantnim členom obstaja tako naravno število $m$, da pozitiven odgovor velja za $c^mP$. Toda v splošnem je odgovor negativen. Dokažemo, da obstajajo take antisimetrične identitete, ki ne sledijo iz Cayley-Hamiltonove identitete, in podamo popoln opis posebne družine takih identitet.
COBISS.SI-ID: 17308505
V članku proučujemo omejitve za vložitve neorientabilnih ploskev v $4$-mnogoterost s homologijo $M \times I$, kjer je $M$ racionalna homološka $3$-sfera. Omejitve se izražajo kot neenakosti, ki povezujejo rod in normalno Eulerjevo število ploskve ter bodisi $d$-invariante Ozsvátha in Szaba bodisi Atiyah-Singerjeve $\rho$-invariante mnogoterosti $M$. Posledica teh je npr., da je minimalni rod gladke vložene ploskve v $L(2p,q) \times I$ enak minimalnemu rodu ploskve v $L(2p,q)$. Poleg tega obravnavamo tudi vložitve neorientabilnih ploskev v sklenjene $4$-mnogoterosti.
COBISS.SI-ID: 17557337