Za vsako naravno število $n)1$ konstruiramo kompleksno mnogoterost $X$ dimenzije $n$, ki je unija naraščajočega zaporedja biholomorfnih slik kompleksnega evklidskega prostora $mathbb{C}^n$ (tak $X$ se imenuje dolg $\mathbb{C}^n$), vendar $X$ nima nekonstantnih holomorfnih ali plurisubharmoničnih funkcij. Poleg tega uvedemo novi biholomorfni invarianti kompleksnih mnogoterosti, stabilno jedro in strogo stabilno jedro, ki sta osnovani na obnašanju ogrinjač kompaktnih množic pri prehodu v neskončno. V članku dokažemo, da je vsaka regularna kompaktna polinomsko konveksna množica v $\mathbb{C}^n$ strogo stabilno jedro nekega dolgega $\mathbb{C}^n$; v posebnem to pomeni, da biholomorfno neekvivalentne množice v $\mathbb{C}^n$ inducirajo neizomorfne dolge $\mathbb{C}^n$. Odtod sledi, da za vsak $n)1$ obstaja kontinuum paroma različnih dolgih $\mathbb{C}^n$ brez nekonstantnih plurisubharmoničnih funkcij in brez nentrivial holomorfnih avtomorfizmov. Ti rezultati podajajo odgovore na vrsto dolgo odprtih vprašanj.
COBISS.SI-ID: 17834073
Dokažemo, da ima vsak generator simetrične kontrakcijske polgrupe na $\sigma$-končnem merljivem prostoru za vsak $1 ( p ( \infty$ na $L^p$ holomorfni funkcijski račun Hörmanderjevega tipa v sektorju, določenem s kotom $\phi_p^\ast = \arcsin \vert 1-2/p \vert$. Dobljeni kot je optimalen.
COBISS.SI-ID: 17897305
Kompleksna mnogoterost $X$ dimenzije $n$ se imenuje $q$-kompletna za neko število $q \in \{ 1, \dots ,n\}$, če ima gladko funkcijo izčrpanja, katere Levijeva forma ima vsaj $n-q+1$ pozitivnih lastnih vrednosti v vsaki točki. (Torej so 1-kompletne mnogoterosti ravno Steinove mnogoterosti.) Taka mnogoterost $X$ je nekompaktna in njena najvišja a priorno neničelna kohomološka grupa je $H^{n+q-1}(X; \mathbb{Z})$. Recimo sedaj, da je $q ( n$, število $n+q-1$ je sodo in $X$ je končnega topološkega tipa. Tedaj je vsak kohomološki razred v grupi $H^{n+q-1}(X; \mathbb{Z})$ Poincaréjevo dualen nekemu analitičnemu ciklu v $X$, čigar komponente so prave holomorfne slike krogle v kompleksnem evklidskem prostoru. To velja v posebnem za komplement $X = \mathbb{CP}^n \setminus A$ poljubne kompleksne projektivne mnogoterosti $A$, ki je definirana s $q ( n$ neodvisnimi enačbami. Če $X$ ni končnega topološkega tipa, velja isti zaključek za elemente groupe $\mathscr{H}^{n+q-1}(X; \mathbb{Z}) = \lim_j H^{n+q-1}(X; \mathbb{Z})$, kjer je $\{M_j\}_{j \in \mathbb{N}}$ izčrpanje mnogoterosti $X$ s kompaktnimi domenami z gladkimi robovi. V članku je prikazan primer kvaziprojektivne mnogoterosti s kohomološkim razredom, ki je analitičen, vendar ni algebraičen.
COBISS.SI-ID: 17622361
Leta 1977 je P. Yang vprašal, če obstajajo kompletne imergirane kompleksne podmnogoterosti $\varphi \colon M^k \to \mathbb{C}^N$, ki so omejene. Pozitiven odgovor je znan za holomorfne krivulje $(k=1)$ in delni odgovori so znani v primeru, ko je $k)1$. Glavni rezultat članka je konstrukcija holomorfne funkcije na odprti enotski krogli $\mathbb{B}_N$ prostora $\mathbb{C}^N$, katere realni del je neomejen na vsaki poti v $\mathbb{B}_N$, ki ima končno dolžino in se konča na $b\mathbb{B}_N$. Posledica tega je obstoj kompletne, zaprte kompleksne hiperploskve v $\mathbb{B}_N$. To da pritrdilni odgovor na Yangovo vprašanje v vseh dimenzijah $k$, $N$, $1 \le k ( N$, saj ima za posledico obstoj kompletne kompleksne mnogoterosti, vložene v kroglo s pravo preslikavo.
COBISS.SI-ID: 17459545
V članku je dokazano, da lahko vsako konformno minimalno imerzijo $u \colon M \to \mathbb{R}^n$ poljubne odprte Riemannove ploskve $M$ v evklidski prostor $\mathbb{R}^n$ za $n \ge 5$ lahko aproksimiramo s konformnimi minimalnimi vložitvami. Nadalje je dokazano, da ima vsaka odprta Riemannova ploskev pravo konformno minimalno vložitev v $\mathbb{R}^5$. Ena od ključnih novih metod, razvitih v članku, je Mergelyanov aproksimacijski izrek za konformne minimalne imerzije $M \to \mathbb{R}^n$ za vsak $n \ge 3$.
COBISS.SI-ID: 17540953