Posplošene mnogoterosti so izjemno zanimiv predmet proučevanja. Vpeljane so bile v tridesetih letih prejšnjega stoletja, ko so topologi poskušali izslediti topološke mnogoterosti med bolj splošnimi topološkimi prostori (to je danes znano kot problem prepoznavanja mnogoterosti). Posplošene mnogoterosti nam pomagajo razumeti naravo pravih mnogoterosti. Vendar je kmalu postalo bolj pomembno proučevati kategorijo posplošenih mnogoterosti samo zase. Preboj je bil narejen v devetdesetih letih prejšnjega stoletja, ko je več topologov odkrilo sistematični način konstrukcije višje dimenzionalnih posplošenih mnogoterosti temelječega na naprednih tehnikah kirurgije. Pravzaprav sta se študij teorije kontrolirane kirurgije in študij posplošenih mnogoterosti razvijala vzporedno. V tem procesu se je prejšnje proučevanje geometrijske teorije kirurgije izkazala za zelo koristno. Posplošene mnogoterosti bodo še naprej privlačen predmet študija, saj tu ostaja še precej nerešenih temeljnih problemov. Poleg tega obetajo nove raziskave, na primer, poiskati primerne strukture na teh prostorih, ki bi osvetlile geometrijske (ali celo analitične) aspekte višje dimenzionalnih posplošenih mnogoterosti. To je prva knjiga, ki sistematično zbere najpomembnejše vedenje o višje dimenzionalnih posplošenih mnogoterostih in kontrolirani kirurgiji. Je celovito zasnovana in njen širok nabor referenc zrcali zgodovinski razvoj teorije. Knjiga temelji na naših podiplomskih predmetih in seminarjih, kakor tudi na naših predavanjih na raznih srečanjih in je primerna za zrelejše podiplomske študente in raziskovalce v algebrski in geometrijski topologiji.
COBISS.SI-ID: 17667161
To je prva monografija, ki obravnava analizo nelinearnih problemov, ki jih opišejo parcialne diferencialne enačbe z variabilnim eksponentom in nehomogeni diferencialni operatorji. Ta analiza je bila razvita z uporabo variacijskih in topoloških metod. Avtorja se ukvarjata z mnogimi problem, ki so izredno zanimivi za matematike in fizike. Ozremo se le na spektralno analizo prirejenih diferencialnih operatorjev. Zaradi prisotnosti nestandardnih nelinearnih členov avtorja poudarita mnoge presenetljive pojave, kot so koncentracijske lastnosti spektra. Pokazano je, da spekter ni več diskreten (kot je za standardni Laplaceov operator) in zvezni spekter se lahko pojavi ali v bližini izhodišča ali v neskončnosti. Avtorja te monografije tudi razdelata splošne metode za bifurkacijsko analizo rešitev, študij diskretnih anizotropnih problemov z variabilnim eksponentom itd. Monografija v glavnem temelji na originalnih rezultatov avtorjev na tem področju, a tudi nekaj pomembnih recentnih rezultatov drugih avtorjev je dodanih v tem delu. Študij tega področja je postal v zadnjem desetletju ekstremno aktiven zaradi več močnih aplikacij modelov z variabilnimi eksponenti na konkretne problem pri elektroreoloških in termoreoloških tekočinah, robotiki in rekonstrukciji slik.
COBISS.SI-ID: 17325401
To je prva monografija posvečena variacijski analizi nelokalnih problemov. Raziskovalcem in študentom podaja poglobljen uvod v variacijske in topološke metode v okviru nelinearnih problemov z nelokalnimi operatorji. Avtorji sistematično obravnavajo temeljno matematično teorijo in konstruktivne metode za te razrede nelinearnih enačb in njihovo uporabo v različnih procesih uporabnih znanosti. Enačbe so proučevane z različnih aspektov, pri čemer je variacijski račun skupna tema. Prvi del podaja nekaj osnovnih dejstev o frakcijskih prostorih Soboljeva. Drugi del je posvečen analizi frakcijskih eliptičnih problemov s subkritično nelinearnostjo preko klasičnih variacijskih metod in drugih novejših pristopov. Tretji del vsebuje izbor recentnih rezultatov o kritičnih frakcijskih enačbah. Pri tem je pristop pretanjeno uravnotežen med rigorozno matematiko in fizikalnimi aplikacijami, kar bralcu omogoča vpogled v to, kako so različni aspekti povezani z drugimi pomembnimi področji, kot so topologija, funkcionalna analiza in teorija potenciala. Monografija ima naslednje pomembne značilnosti: (1) predstavi sodobni enovit pristop k analizi nelokalnih enačb; (2) preučuje širok razpon problemov z nelokalnimi operatorji, ki se lahko posplošijo na druge razrede podobnih problemov; (3) predstavi številne presenetljive interakcije med različnimi tematikami.
COBISS.SI-ID: 17642841
To je drugi od dveh delov (prvi je bila izdan leta 2014 pri isti založbi Springer) in pokriva probleme petih osrednjih tem matematične analize: funkcijske prostore; nelinearne preslikave in preslikave z vrednostmi, ki so množice; analiza gladkih in negladkih preslikav; teorija stopnje in teorija negibnih točk; variacijske in topološke metode. Vsaka od teh petih tem ustreza nekemu poglavju z vključitvijo temeljne teorije in spremljajočih definicij in rezultatov ter dodanimi ustreznimi komentarji in opombami za boljše razumevanje. Problemi so dodani pri vsaki temi z rešitvami na koncu vsakega poglavja. Celotna zbirka problemov nudi uravnoteženo in koristno sliko za uporabo ustrezne teme. Ta enciklopedična pokritost problemov iz nelinearne analize je prva take vrste in dosegljiva širokemu naboru bralcev. Za podiplomski študente bo to koristna za pripravo na izpite in preskušanje globljega razumevanja snovi. Problemi so označeni po težavnosti. Za izvajalce predmetov, ki vključujejo eno ali več zgoraj omenjenih področij, bo knjiga zelo koristna pri pripravi predavanj. Za raziskovalce na področju nelinearne analize pa bo to delo koristno kot povzetek analitičnih teorij zbranih v eni dosegljivi knjigi.
COBISS.SI-ID: 17676121
V obdobju poročila smo objavili 239 člankov (od tega 68 v revijah v zgornji četrtini SCI seznama). Navajamo izbor člankov iz topologije in geometrije (1-5) in nelinearne analize (6-10), skupaj s COBISS ID-ji, kjer so objavljeni njihovi povzetki: 1.SMREKAR, Jaka. CW towers and mapping spaces. Topology and its Applications, 2015, vol. 194, str. 93-117. [COBISS.SI-ID 17413721]. 2.GOVC, Dejan. On the definition of the homological critical value. Journal of homotopy and related structures, ISSN 2193-8407, 2016, vol. 11, iss. 1, str. 143-151. [COBISS.SI-ID 17228633] 3.LAMPRET, Leon, VAVPETIČ, Aleš. (Co)homology of Lie algebras via algebraic Morse theory. Journal of algebra, 2016, vol. 463, str. 254-277. [COBISS.SI-ID 17743193], 4.PAVEŠIĆ, Petar. Extension of functors to fibrewise pointed spaces. Topological Methods in Nonlinear Analysis, 2015, vol. 45, no. 1, str. 91-102. [COBISS.SI-ID 17282649]. 5.KING, Henry C., KNUDSON, Kevin, MRAMOR KOSTA, Neža. Birth and death in discrete Morse theory. Journal of symbolic computation, 2017, vol. 78, str. 41-60. [COBISS.SI-ID 17737817]. 6. REPOVŠ, Dušan. Stationary waves of Schrödinger-type equations with variable exponent. Analysis and applications, 2015, vol. 13, iss. 6, str. 645-661. [COBISS.SI-ID 17144409] 7.BOUREANU, Maria-Magdalena, RǍDULESCU, Vicenţiu, REPOVŠ, Dušan. On a p(.)-biharmonic problem with no-flux boundary condition. Computers & Mathematics with Applications, 2016, vol. 72, iss. 9, str. 2505-2515. [COBISS.SI-ID 17789785]. 8.PAPAGEORGIOU, Nikolaos Socrates, RǍDULESCU, Vicenţiu, REPOVŠ, Dušan. On a class of parametric (p, 2)-equations. Applied mathematics and optimization, 2016, 36 str. [COBISS.SI-ID 17592153]. 9.MOLICA BISCI, Giovanni, REPOVŠ, Dušan, SERVADEI, Raffaella. Nontrivial solutions of superlinear nonlocal problems. Forum mathematicum, 2016, vol. 28, iss. 6, str. 1095-1110. [COBISS.SI-ID 17671001]. 10.CENCELJ, Matija, REPOVŠ, Dušan, VIRK, Žiga. Multiple perturbations of a singular eigenvalue problem. Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, 2015, vol. 119, str. 37-45. [COBISS.SI-ID 17086297].