Projekti / Programi
Zvezni in diskretni sistemi v nelinearni analizi
| Koda |
Veda |
Področje |
Podpodročje |
| 1.01.00 |
Naravoslovje |
Matematika |
|
| Koda |
Veda |
Področje |
| P001 |
Naravoslovno-matematične vede |
Matematika |
| Koda |
Veda |
Področje |
| 1.01 |
Naravoslovne vede |
Matematika |
nelinearna parcialna diferencialna enačba, diferencialni operator, variacijska analiza, kvalitativna analiza rešitev
Raziskovalci (13)
Organizacije (2)
Povzetek
Predlagani triletni temeljni projekt bo poglobil povezave med bolj temeljno orientiranimi področji matematike, kot so topologija, funkcionalna analiza, variacijski račun in nelinearna analiza, in bolj aplikativno orientiranimi in novejšimi področji diskretne matematike, matematične fizike in optimizacije. Splošni cilj projekta je z metodami fundamentalne matematike pridobiti učinkovita orodja za razvozlanje kompleksnosti nekaterih nelinearnih pojavov, ki jih obravnavajo aplikativne znanosti.
V glavnem želimo proučevati dualnost med »zveznimi« in »diskretnimi« modeli in se ukvarjati z matematično analizo dveh razredov nelinearnih problemov: (a) parcialnih diferencialnih enačb opisanih z zveznimi diferencialnimi operatorji (homogenimi ali nehomogenimi); (b) parcialnih diferenčnih enačb, ki opisujejo diskretne probleme.
Predlagana raziskava je motivirana z mnogimi kompleksnimi pojavi, ki jih opisujejo nelinearne diferencialne ali diferenčne enačbe, katerih rešitve izkazujejo nestandardno obnašanje, kot so koncentracija, oscilacija, razpih. Singularni ali degenerirani pojavi in obnašanje sistemov v ali blizu kritičnosti bodo igrali osrednjo vlogo v naši analizi.
Raziskava se bo posvetila temeljnim temam, kot so obstoj in stabilnost rešitev, optimalna regularnost, perturbacijski učinki, asimptotičnost, a se bo v največji meri osredotočila na kvalitativno in kvantitativno analizo večnivojskih pojavov v stacionarnih in evolucijskih sistemih. Posebej se bomo ukvarjali z nelinearnimi sistemi z geometrijskimi strukturami, kjer dinamiko določajo energijski funkcionali. Obravnavamo nekatere nestandardne modele, kot so sistemi z nepravilnimi geometrijskimi strukturami (fraktali), anizotropne probleme opisane z nehomogenimi diferencialnimi ali diferenčnimi operatorji, singularne in degenerirane pojave.
Novost v našem pristopu je uporaba topoloških, variacijskih in analitičnih metod kombiniranih z globokim geometrijskim vpogledom v strukture modelov, ki jih opišejo razni razredi nelinearnih sistemov. Dokazi združujejo pretanjena orodja teorije kritičnih točk, Morseove teorije, deformacijskih metod, teorije indeksa, Ljusternik-Šnirelmanove teorije, kategorije, metod monotonosti, Karamatove teorije regularne variacije, numeričnih metod.
Predlagani projekt bo odprl nova polja raziskav na področju nelinearnih parcialnih diferencialnih enačb v prihodnosti, razjasnil in poenostavil bo znanje o obnašanju rešitev teh problemov in podal aplikativnim znanstvenikom nove uvide v te modele. Relevantne aplikacije vključujejo nelinearne modele v ne-newtonskih `pametnih' tekočinah, restavraciji slike, robotiki (sistemih z variabilnim eksponentom), teoriji kaosa, potresih, Brownovim gibanjem, procesiranjem slike (PDE na fraktalih), Riemannovi geometriji, matematični biologiji (razpih in sigularni pojavi), biološka nevralna omrežja, difuzija toplote, distribucija temperature, celularna nevralna omrežja (diferenčne enačbe).
Nameravamo še naprej publicirati v vodilnih revijah teoretične in uporabne matematike. V uglednih znanstvenih založbah bomo objavili tudi več novih monografij. Naše raziskave se bodo izvajale v sodelovanju z odličnimi raziskovalnimi skupinami iz Evropske unije, Združenih držav Amerike, Ruske federacije, Kitajske in Japonske, v okviru mednarodnih projektov in omrežij.
Tudi v prihodnje bomo organizirali konference in delavnice, doma in na tujem, z udeležbo vodilnih ekspertov, kjer bodo predstavljeni novi rezultati in omogočena izmenjava znanja.
Nadaljevali bomo tudi z odličnim sodelovanjem s poslovnimi uporabniki - malimi in velikimi podjetji doma in na tujem. Še naprej bomo razvijali doktorski program na tem področju v Sloveniji in intenzivno uvajali študente v raziskovalno delo. Veliko naporov bomo tudi v bodoče posvečali popularizaciji znanosti v Sloveniji in na tujem, kar zelo uspešno delamo že več desetletij.
Pomen za razvoj znanosti
Raziskovalno področje naše projektne skupine spada v eno od temeljnih vej matematike in rezultati naših raziskav bodo prispevki za vso svetovno matematično skupnost; vključevali bodo najnovejše dosežke in njihova relevantnost se bo odražala v mnogih citatih. Nekateri rezultati naše skupine bodo uporabni tudi v drugih vejah matematike.
Pomemben cilj tega raziskovalnega projekta je nadaljni razvoj zelo kompetitivne raziskovalne šole nelinearne analize v Sloveniji, ki bo na nivoju najboljših podobnih centrov v Evropi in na svetu nasploh. Nameravamo tudi zelo pozitivno vplivati na nadaljnji intenzivni razvoj slovenske matematične šole s poudarkom na linearnih in nelinearnih parcialnih diferencialnih enačbah, variacijskem računu in povezavah s svetovnim raziskovalnim omrežjem predvsem v Evropski uniji.
Predlagani raziskovalni projekt bo bistveno povečal naše skupno znanje na področju nelinearne analize, tako čiste kot tudi aplikativne. Kot sledi že iz naslova projekta, gre za področje, kjer sodobno polje nelinearne analize pomaga rigorozno analizirati konkretne modele, ki jih podajajo aplikativne znanosti. Področje nelinearne analize ima zelo širok spekter interakcij z drugimi matematičnimi vejami vključno s funkcionalno analizo, variacijskim računom, matematično fiziko in numerično analizo. Nelinearna analiza je eno od področij bazičnih raziskav, ki imajo največ potenciala za široko afirmacijo v mednarodnem znanstvenem prostoru. Poleg tega so v zadnjih letih mnogi priznani znanstveniki uspešno odkrili nove načine aplikacij abstraktnih rezultatov na tem področju. Spomnimo se, da sta oba lavreata Abelove nagrade za leto 2015, John F. Nash in Louis Nirenberg, dobila to priznanje »za nepričakovane in pionirske prispevke k teoriji nelinearnih parcialnih diferencialnih enačb in njihovih aplikacij«.
Nekateri člani naše raziskovalne skupine so v preteklosti odkrili nove načine uporabe ene veje nelinearne analize, Karamatovo teorijo regularne variacije so namreč prvič uporabili člani naše skupine za precizno asimptotično analizo rešitev nekega pomembnega razreda nelinearnih eliptičnih enačb. Spomnimo, da je bila Karamatova teorija prvič vpeljana v tridesetih letih prejšnjega stoletja za aplikacije na področju teorije verjetnosti. Naši originalni rezultati o problemih z variabilnim eksponentom in o nelokalnih problemih imajo velik potencial za uporabnost pri študiju raznih konkretnih pojavov.
Predlagamo nove metode in tehnike rešitve zelo težkih še nerešenih problemov. Opisani raziskovalni problemi so v zadnjih letih v središču pozornosti več znanih ekspertov iz nelinearne analize z vsega sveta. Odlične reference vodilnih članov naše raziskovalne skupine zagotavljajo uspešnost redlaganih raziskav. Zato bodo naši rezultati gotovo poželi veliko zanimanja mednarodne matematične skupnosti. V točkah 8 in 9 prijave podrobneje opisujemo njihove najpomembnejše dosežke in nagrade ter izjemen odziv svetovne javnosti in njihov pomemben vpliv na svetovno znanost.
Pomen za razvoj Slovenije
Naša projektna skupina ima za seboj že dolgo in uspešno zgodovino sodelovanja z gospodarstvom vse od 1980-ih let dalje. Naj omenimo, da je bil za odlično sodelovanje s slovensko industrijo vodja projekta izvoljen v slovensko inženirsko akademijo (IAS). Člani naše skupine so doslej zelo uspešno sodelovali na naslednjih aplikativnih projektih:
(i) Telekomunikacije: o optimizaciji performans digitalnih telefonskih central z raziskovalno-razvojnim oddelkom nekdanjega telekomunikacijskega podjetja Iskra Telematika.
(ii) Elektrotehnika: s podjetjem Elektrina o verifikaciji naključnosti in analizi iregularnosti mehanskega generatorja slučajnih števil.
(iii) Optimizacija oblik: s tovarno plovil Seaway group o optimizaciji metod za oblikovanje lupin jaht.
(iv) Optimizacija procesov: s podjetjema Abelium in Epilog o razvoju novih tehnoloških rešitev za optimizacijo logistike velikih skladišč.
(v) Farmacevtska industrija: z glavno domačo farmacevtsko tovarno Krka o raznih statističnih analizah.
(vi) Elektronika: s podjetjem Elatec o algoritmih za vodilo testnih mikroskopov za digitalno skeniranje s povratno informacijo za regulacijo vertikalnega gibanja.
(vii) Optimizacija in logistika: s podjetjem visoke tehnologije Abelium in start-up podjetjem Epilog o integriranih softverskih rešitvah za interno logistiko in avtomatizirana skladišča.
(viii) Detekcija goljufij in anomalij: s podjetjem Optilab o tehnoloških rešitvah na področju odkrivanja goljufij in anomalij z učinkovito podporo.
(ix)Tekstilna industrija: s Fakulteto za naravoslovje in tehnologijo Univerze v Ljubljani o analizah vpliva kemijskih premazov na površinske lastnosti steklenih plošč.
S svojo ekspertizo na področju nelinearne analize bomo intenzivno nadaljevali svoje sodelovanje z gospodarstvom, z malimi in velikimi podjetji ter drugimi poslovnimi uporabniki, v Sloveniji in na tujem.
Najpomembnejši znanstveni rezultati
Vmesno poročilo,
zaključno poročilo
Najpomembnejši družbeno–ekonomsko in kulturno relevantni rezultati
Vmesno poročilo,
zaključno poročilo
