Projekti / Programi
Holomorfne preslikave, geometrijska interpolacija in harmonična analiza
| Koda |
Veda |
Področje |
Podpodročje |
| 1.01.00 |
Naravoslovje |
Matematika |
|
| Koda |
Veda |
Področje |
| P001 |
Naravoslovno-matematične vede |
Matematika |
| Koda |
Veda |
Področje |
| 1.01 |
Naravoslovne vede |
Matematika |
Holomorfne preslikave, princip Oka-Grauert, harmonična analiza, geometrijska interpolacija, Brauerjeve grupe
Raziskovalci (12)
Organizacije (2)
Povzetek
Raziskali bomo več sklopov aktualnih problemov na presečišču kompleksne, harmonične in numerične analize ter algebre.
Na področju kompleksne analize se bomo ukvarjali s principom Oka-Grauert-Gromov ter njegovimi uporabami v analitični geometriji. Študirali bomo razred mnogoterosti Oka s poudarkom na vprašanjih, katere geometrične operacije ohranjajo ta razred ter katere kompleksne ploskve isodijo v ta razred. Nadalje bomo raziskali plurisubharmoničnost ogrinjač nekaterih klasičnih disk funkcionalov na kompleksnih prostorih s singularnostmi. Zanimala nas bo tudi geometrija Cauchy-Riemannovih (CR) mnogoterosti in še posebej struktura CR singularnosti podmnogoterosti realne kodimenzije dve v kompleksni mnogoterosti. Skušali bomo poiskati in klasificirati normalne forme eliptičnih točk realnih podmnogoterosti kodimenzije dve.
Ena od smeri raziskovanja na področju algebre bo študij lastnosti nerazvejenih Brauerjevih grup in višjih nerazvejenih kohomologij končnih in algebraičnih grup. S pomočjo homološkega pristopa, ki smo ga razvili, bomo ponovno preučili teorijo minimalnih faktorjev, ki jo je zasnoval Bogomolov. Minimalni faktorji so v nekem smislu najmanjši protiprimeri za problem Emmy Noether in nosijo pomembno informacijo o strukturi fiksnih obsegov. Eden od glavnih ciljev v tej smeri bo klasifikacija minimalnih faktorjev, ki zaenkrat še ni znana. Domnevamo, da bo homološki pristop dal nove informacije o minimalnih faktorjih, ki bodo zadoščale za klasifikacijo. Drugo področje raziskovanja bo študij nerazvejenih Brauerjevih grup znotraj končnih p-grup danega korazreda.
Na področju harmonične analize bomo študirali natančne norme potenc klasičnega Ahlfors-Beurlingovega operatorja. Poskusili bomo dokazati tudi t.i. bilinearni vložitveni izrek za Kohn-Laplaceov operator na Heisenbergovi grupi ter posledično podati konkretne Lp ocene za Heisenberg-Rieszove transformacije. Znano je, da so te ocene brezdimenzijske in jih je mogoče združiti z rezultati za parabolično Hilbertovo transformacijo ter tako dokazati eksplicitno rast norm za p → ∞, in sicer reda p1+ε za poljuben ε)0. S pomočjo metode Bellmanovih funkcij bomo poskusili dokazati linearno rast, kar bi potrdilo odprto domnevo o šibki 1-1 omejenosti parabolične Hilbertove transformacije.
V numerični analizi bomo raziskovali geometrijsko interpolacijo s polinomskimi in racionalnimi parametričnimi krivuljami. Še posebej se bomo osredotočili na interpolacijske metode, ki so pomembne pri načrtovanju gibanja togih teles. Reševanje takšnih problemov je nepogrešljivo denimo v robotiki in drugod. Med drugim bomo skušali ugotoviti, ali obstaja geometrijska Lagrageova interpolacijska shema, ki temelji na racionalnih parametričnih krivuljah nizke stopnje in ponuja
interpolacijsko krivuljo v zaključeni obliki. Takšna shema bi bila temeljni korak k uporabni nelinearni interpolacijski subdivizijski shemi. Del raziskav bomo posvetili konstrukciji krivulj z racionalnim ogrodjem, predvsem rotacijsko minimizirajočim.
Pomen za razvoj znanosti
V delu na projektu smo našli pomembna nova temeljna in aplikativna znanstvena spoznanja na področju kompleksne analize in geometrije, teorije minimalnih ploskev, harmonične analize, teorije integrabilnih hamiltonskih sistemov, algebra in numerične analize. Dosežene rezultate smo podrobno utemeljili in predstavili z objavami v mednarodnih revijah s faktorjem vpliva ter na vrsti vabljenih predavanj na mednarodnih znanstvenih konferencah, doktorskih šolah in tujih znanstvenih ustanovah. Naši rezultati so naleteli na pozornost v mednarodni znanstveni javnosti, kar dokazujejo številni citati ter redna vabila na predstavitve dosežkov na uglednih mednarodnih konferencah, doktorskih šolah in tujih znanstvenih ustanovah. S svojimi dosežki smo pomembno prispevali tudi k širši dostopnosti in mednarodni prepoznavnosti našega znanja, še posebej med mlajšimi generacijami raziskovalcev. Nova spoznanja, dobljena pri raziskovalnem delu na projektu, smo člani projektne skupine (ki smo vsi tudi univerzitetni učitelji na Univerzi v Ljubljani, prenašali v svoje pedagoško delo, še posebej na magistrskem in doktorskem študiju, ter na vzgojo mladih raziskovalcev. Aktivno smo se vključevali v popularizacijo znanosti preko radijskih in TV oddaj ter predavanjih.
Pomen za razvoj Slovenije
Naši znanstveni dosežki so na mednarodno primerljivem znanstvenem nivoju, zato prinašajo Sloveniji mednarodno vidnost in prepoznavnost na področjih matematike, na katerih raziskujemo sodelavci projektne skupine. Pridobljeno znanje, razvito v delu na raziskovalnih projektih kot je bil pričujoči, nenehno prenašamo v naše širše delovno okolje na fakultetah Univerze v Ljubljani, kjer smo primarno zaposleni, predvsem preko predavanj na vseh stopnjah študija, še posebej na doktorski, preko organizacije znanstvenih srečanj in seminarjev, obiskov številnih tujih gostov in predavateljev, organizacije mednarodnih konferenc v domačem in tujem okolju, idr. Z vsemi temi aktivnostmi ustvarjamo znanstveno aktivno in stimulativno delovno okolje, v katerem se lahko šolajo in izpopolnjujejo nove generacije inženirjev, učiteljev, profesorjev in raziskovalcev. Po potrebi se aktivno vključujemo tudi v družbeno dogajanje na področju izobraževanja in znanosti. Aktivno smo bili vključeni v popularizacijo znanosti. Opravljamo različne strokovne in tudi vodstvene funkcije na svojih ustanovah. S sodelovanjem pri uredniškem delu domačih in tujih znanstvenih in strokovnih revij dodatno prispevamo k ugodnemu razvoju znanosti in izobraževanja, tako na nivoju Slovenije kot tudi v svetovnem merilu.
Najpomembnejši znanstveni rezultati
Letno poročilo
2013,
2014,
2015,
zaključno poročilo
Najpomembnejši družbeno–ekonomsko in kulturno relevantni rezultati
Letno poročilo
2013,
2014,
2015,
zaključno poročilo
