Projekti / Programi
Limitne množice iteracijskih sistemov v dimenzijah 3 in 4
| Koda |
Veda |
Področje |
Podpodročje |
| 1.01.00 |
Naravoslovje |
Matematika |
|
| Koda |
Veda |
Področje |
| P150 |
Naravoslovno-matematične vede |
Geometrija, algebraična topologija |
| Koda |
Veda |
Področje |
| 1.01 |
Naravoslovne vede |
Matematika |
Limitna množica, iterativna metoda, 3-mnogoterost, Cantorjeva množica, toga vložitev, homogenost, rod, fundamentalna grupa, klasifikacija vložitev, splet, uporaba topologije, dinamični sistem, kaos, fraktalna geometrija, Hausdoffova dimenzija
Raziskovalci (16)
Organizacije (2)
Povzetek
To je predlog 3-letnega raziskovalnega projekta, s katerim želimo nadaljevati in razširiti – v sodelovanju z raziskovalnimi skupinami iz Evropske unije, Ruske federacije, Združenih držav in japonske – svoj mednarodni prestiž na področju uporabe iteracijskih geometrijskih in topoloških metod za produkcijo limitnih množic, 3-mnogoterosti, algebrskih primerov in dinamičnih sistemov s specifičnimi lastnostmi.
Naš primarni cilj je doseči boljše razumevanje topoloških, dinamičnih in algebrskih lastnosti limitnih množic iteracijskih sistemov. Obstaja tesna zveza med lastnostmi teh množic, geometrijskimi tehnikami njihove konstrukcije in algebrsko strukturo limitne grupe homeomorfizmov koncev komplementa.
Glavna tema predlaganega projekta je tesna povezanost med lastnosti koncev 3-mnogoterosti, iteracijskimi sistemi, ki vložijo dano limitno množico ina algebrsko strukturo grupe homeomorfizmov vloženih limitnih množic, ki pridejo iz homeomorfizmov ambientnega prostora. Ti homeomorfizmi so tudi homeomorfizmi structure koncev, ki se dajo razširiti. Boljše razumevanje tipov algebrskih, topoloških in geometrijskih lastnosti limitnih množic bi moralo voditi do boljšega razumevanja iteracijskih, dinamičnih in algebrskih sistemov.
Naše delo na grupah vložitvene homogenosti povezuje vse te pojme in bo verjetno vodila do novih raziskovalnih področij, ki bodo povezovale vse te različne matematične strukture. Naši rezultati vodijo do boljšega razumevanja komplementov the limitnih točk v 3-mnogoterostih. Študij structure grup preslikavnih razredov 3-mnogoterosti je izjemno pomembno področje sedanjega raziskovanja. Naši projekti doprinašajo nov pristop k raziskovanju geometrijskih, algebrskih in dinamičnih struktur.
Naše raziskave v zadnjih desetih letih so vodile do precej boljšega razumevanja, kako razlikovati med raznimi tipi limitnih množic in kako konstruirati limitne množice nekaterimi specificiranimi topološkimi in algebrskimi lastnostmi, kot sta rigidnost ali tip homogenosti. Naše metode se posplošijo na sorodne konstrukcije, ki dajo splete Whiteheadovega tipa in mnogoterosti. Dosegli smo preboje pri tipih primerov s togostjo ali drugimi algebrskimi strukturami. Nadaljevanje uporabe naših tehnik bo obrodilo originalne rezultate, za katere vlada široko zanimanje. Središče našega zanimanja velja primerom, ki se pojavijo kot vgnezdeni preseki ali unije torusov in sorodnih mnogoterosti. Pri presekih smo konstruirali primer, ki je bil Lipschitzevo ambientno homogeny. To je odvisno od posebne Cantorjeve množice Antoinovega tipa z geometrijsko sebi-podobnostjo.
Kasneje smo konstruirali neštevno mnogo neekvivalentnih takih primerov, kjer ima vsak isto število component na vsakem koraku. Rushing je pokazal, da obstajajo Cantorjeve množice v R3 s spremenljivo Hausdorffovo dimenzijo.
Najti nameravamo sebi-podobno Cantorjeve množice v dimenzijah ) 3 z vsako možno Hausdorffovo dimenzijo. To je v zvezi s konstrukcijo sebi-podobnih Cantorjevih množic Blankenshipovega tipa v dimenziji 4. Našli smo primere togo vloženih zn enostavno povezanim komplementom in karakterizirali take kompakte, ki se pojavijo z Bing-Whiteheadovo konstrukcijo. Naravno se ponuja projekt iskanja primerov v višjih dimenzijah. Drugo glavno torišče dela je produkcija primerov s specifičnimi grupami vložitvene homogenosti v zvezi z grupo preslikavnih razredov komplementa. Naše nedavne konstrukcije bi lahko z raznimim modifikacijami vodile do takih primerov.
Nedavno je Gabai pokazal, da se da Whiteheadova 3-mnogoterost izraziti kot unija dveh kopij R3 s presekom R3. Svoje izkušnje bomo uporabili za delo s Cantorjevimi množicami, da bomo raziskali, katere kontraktibilne 3-mnogoterosti, ki se izrazijo kot naraščajoče unije torusov, lahko izrazimo kot taka unija 3-prostorov. Pričakujemo, da bomo lahko karakterizirali razrede, ki se jih da tako izraziti in tiste razrede, ki se jih ne da.
Pomen za razvoj znanosti
Projekt je obravnaval številne pomembne teme sodobne geometrijske topologije in njene uporabe. Našli smo nove metode in tehnike za rešitev številnih odprtih problemov, ki so bili že dolgo časa v središču pozornosti precejšnjega števila vodilnih strokovnjakov. Zato bodo naši rezultati zagotovo vplivali na to znanstveno področje v svetovnem merilu in bodo pospešili tudi razvoj matematičnih znanosti v Sloveniji. Zelo uspešno tudi odkrivamo številne možnosti za uporabo naših raziskav na drugih področjih. Naši rezultati so bili objavljeni v vodilnih specializiranih mednarodnih matematičnih revijah, ki so visoko na seznamu SCI na področju matematike, npr. Advances in Nonlinear Analysis, Annales de l'Institut Henri Poincare, Archive for Mathematical Logic, Communications in Contemporary Mathematics, Communications on Pure and Applied Analysis, Computers & Mathematics with Applications, Discrete and Continuous Dynamical Systems, Fractional Calculus & Applied Analysis, Geometry & Topology, Journal of Mathematical Analysis and Applications, Journal of Symbolic Logic, Journal of the London Mathematical Society, Linear Algebra and its Applications, Nonlinearity, Proceedings of the Royal Society Edinburgh, Results in Mathematics, Transactions of the American Mathematical Society, idr. Naši rezultati so naleteli na veliko zanimanje v mednarodni matematični javnosti in so bili pogosto citirani. Nekatere naše objave pri založbi Elsevier North-Holland so bile uvrščene tudi med najbolj zahtevane (downloaded) članke (npr. v reviji Topology and Its Applications). Projektna skupina je že odlično etablirana na svojem raziskovalnem področju in je dobila več domačih in tujih priznanj. Člani naše skupine so prejeli vabila za predavanja na pomembnih mednarodnih konferencah, kar potrjuje mednarodno uveljavljenost naše skupine. Povečalo se je zanimanje tujih raziskovalnih institucij za sodelovanje z IMFM, predvsem iz EU. Kot rezultat ima naša raziskovalna skupina veliko mednarodnih projektov.
Pomen za razvoj Slovenije
Delo na tem področju bo imelo pozitiven vpliv na razvoj raziskovalne matematike v Sloveniji, s poudarkom na topologiji in njeni uporabi, ter na vpetost v svetovno raziskovalno mrežo, posebej v okviru EU. Glavni dosežek tega projekta je odkritje zelo pomembnih novih temeljnih zakonitosti in njihova uporaba v matematiki ter razširitev obstoječih raziskovalnih orodij in njihova uporaba. Dobljeni rezultati se zelo dobro ujemajo z načrti razvoja slovenske znanosti in tehnologije na področju povečanja znanja, kot tudi za izboljšanje kakovosti podiplomskega študija. Naše raziskave so povezane in nadgrajujejo naše dosedanje uspešne raziskave na tem področju in se nanašajo na probleme, ki smo jih že uspešno obravnavali, z odličnim odmevom, v številnih mednarodnih raziskovalnih projektih, pri katerih sodelujemo. Kot rezultat naših dolgoletnih prizadevanj je naš inštitut mednarodno priznan evropski center za topologijo in eno pomembnih stičišč strokovnjakov na tem področju. Naše raziskovalno delo je prejelo več domačih in mednarodnih priznanj in pred časom smo bili izbrani med najboljše programske skupine v državi. Naši uveljavljeni člani skupine na svojem področju že odločilno vplivajo na smer aktualnega raziskovanja v mednarodnem prostoru. V zadnjem času se vedno bolj uveljavlja tudi mlajša generacija raziskovalcev, ki ji je prav delovanje v okviru programa omogočilo pridobitev potrebnega znanja za uspešno raziskovalno delo. Naša projektna skupina zelo uspešno sodeluje z uporabniki, npr. pri razvoju novih učinkovitih algoritmov za generiranje diskretnih Morsovih funkcij v računski topologiji, kar se lahko uporabi v medicinski radiološki diagnostiki. Na teh področjih učinkovito sodelujemo z nekaterimi domačimi podjetji visoke tehnologije, ki so v konici razvoja svojih področij. V prihodnje nameravamo še razširiti delovanje na aplikativnih področjih in se še bolj umestiti v raziskovalnih mrežah znotraj EU. Projekt je imel tudi zelo pozitiven učinek na razvoj podiplomskih študijev v Sloveniji v okviru doktorskih programov matematike na Univerzi v Ljubljani. Pod našim mentorstvom so mladi raziskovalci in drugi doktorski študenti izdelali svoje disertacije na najbolj propulzivnih temah topologije in njene uporabe. Pripravili smo tudi sodobne podiplomske tečaje, npr. "Računalniška topologija" na Fakulteti za računalništvo in informatiko na Univerzi v Ljubljani, ki je zelo zanimiv in uporaben tudi za druga področjih, še posebej v medicini.
Najpomembnejši znanstveni rezultati
Letno poročilo
2014,
2015,
zaključno poročilo
Najpomembnejši družbeno–ekonomsko in kulturno relevantni rezultati
Letno poročilo
2014,
2015,
zaključno poročilo
