Projekti / Programi
Izbrani problemi nelinearne analize
| Koda |
Veda |
Področje |
Podpodročje |
| 1.01.00 |
Naravoslovje |
Matematika |
|
| Koda |
Veda |
Področje |
| P001 |
Naravoslovno-matematične vede |
Matematika |
| Koda |
Veda |
Področje |
| 1.01 |
Naravoslovne vede |
Matematika |
nelinearna parcialna diferencialna enačba; funkcijski prostori z variabilnim eksponentom; nehomogeni diferencialni operator; variacijska analiza
Raziskovalci (13)
Organizacije (2)
Povzetek
Projekt spada v presek teoretične in uporabne nelinearne analize. Osredotoča se na analitični študij nelinearnih parcialnih diferencialnih enačb, ki opisujejo modele iz uporabnih znanosti. Koncentrirali se bomo na nekaj specifičnih razredih nelinearnih sistemov s ciljem pridobitve fizikalno smiselnih rezultatov z uporabo analitičnih orodij.
V projektu bomo obravnavali dva razreda nelinearnih parcialnih diferencialnih enačb (PDE): (i) eliptični in evolucijski problemi z variabilnim eksponentom in (ii) nelokalne frakcijske enačbe. V obeh primerih nas bo zanimala kvalitativna asimptotična in bifurkacijska analiza rešitev. Posebej se bomo posvetili razumevanju novih pojavov, ki jih opisujejo tovrstni nelinearni problemi.
V prvem primeru nas zanimajo razni kompeticijski in perturbacijski učinki za nelinearne enačbe z enim ali več variabilnimi eksponenti. Upoštevamo spektralno karakterizacijo nehomogenih diferencialnih operatorjev, kritične eksponente Soboljevega tipa, nedoločene potenciale z možnimi singularnostmi in bifurkacijsko analizo rešitev. Novi fenomen pri tovrstnih novih problemih zadeva različne pojave koncentracije spektra, namreč obstoj zveznega spektra, ki je skoncentriran ali blizu izhodišča ali pa v neki okolici neskončnosti. Študij nelinearnih problemov z variabilnimi eksponenti je motiviran z relevantnimi aplikacijami pri ne-newtonskih (pametnih) tekočinah, rekonstrukciji slike, robotiki ali podobnih modelih matematične fizike ali drugih aplikativnih ved.
Nelokalni problemi s frakcijskim Laplaceovim operatorjem se pojavljajo pri opisu raznih fenomenov, kot so fizika plazme, širjenje ognja, Hamilton-Jacobi s kritično frakcijsko difuzijo ali fazni prehodi v okviru gama konvergence. Z vidika verjetnostnega računa je frakcijski Laplaceov operator infinitezimalni generator Lévyjevega procesa. Zanima nas kvalitativna analiza nelokalnih enačb Schrödingerjevega and Kirchhoffovega tipa. Naš glavni namen je nadaljevanje in razširitev naših številnih dosedanjih rezultatov na tem področju in razvoj rigorozne variacijske in topološke analize rešitev. Upoštevamo naslednje smeri: boljše razumevanje kritičnih pojavov Brezis-Nirenbergovega tipa; študij superkritičnega primera; kombinirani učinki pri nelokalnih frakcijskih enačbah; bifurkacijska analiza rešitev.
Naša analiza kombinira izboljšana orodja nelinearne analize vključno z variacijskimi metodami (teorija kritičnih točk, Morseova teorija, energijske ocene), topoloških metod (Ljusternik-Schnirelmannova teorija, deformacijske metode, kategorija in rod), metode monotonosti (nelinearni princip maksimuma, principi primerjanja) in asimptotične analize (regularne variacijske teorije Karamata). V vseh primerih želimo najti najbolj naravne hipoteze in študirati predvsem modele iz uporabnih ved.
Nameravamo publicirati svoje rezultate v vodilnih revijah teoretične in uporabne matematike. V uglednih znanstvenih založbah bomo objavili tudi več novih monografij. Naše raziskave se bodo izvajale v sodelovanju z odličnimi raziskovalnimi skupinami iz Evropske unije, Združenih držav Amerike, Ruske federacije, Kitajske in Japonske, v okviru sedanjih (in prihodnjih) mednarodnih (bilateralnih in multilateralnih) raziskovalnih projektov in omrežij. Planiramo organizacijo mednarodne konference in poletne šole, z udeležbo vodilnih tujih ekspertov, kjer bodo predstavljeni novi rezultati in bo omogočena intenzivna izmenjava znanja. Nadaljevali bomo z uporabo naših rezultatov na področjih izven matematike. Razvijali bomo doktorski program na teh raziskovalnih področjih v Sloveniji in intenzivno vpeljevali naše doktorske študente v raziskovalno delo.
Pomen za razvoj znanosti
Osrednji cilj tega raziskovalnega projekta je prispevati k razvoju zelo kompetitivne raziskovalne šole nelinearne analize v Sloveniji ne nivoju najboljših podobnih centrov v Evropi in na svetu nasploh. Nameravamo tudi zelo pozitivno vplivati na nadaljnji intenzivni razvoj slovenske matematične šole s poudarkom na linearnih in nelinearnih parcialnih diferencialnih enačbah, variacijskem računu in povezavah s svetovnim raziskovalnim omrežjem predvsem v Evropski uniji.
Predlagani raziskovalni projekt bo bistveno povečal naše skupno vedenje na področju nelinearne analize, tako čiste kot tudi aplikativne. Kot sledi že iz naslova projekta, gre za področje, kjer sodobno polje nelinearne analize pomaga rigorozno analizirati konkretne modele, ki jih podajajo aplikativne znanosti. Področje nelinearne analize ima zelo širok spekter interakcij z drugimi matematičnimi vejami vključno s funkcionalno analizo, variacijskim računom, matematično fiziko in numerično analizo.
Nelinearna analiza je eno od področij bazičnih raziskav, ki imajo največ potenciala za široko afirmacijo v mednarodnem znanstvenem prostoru. Poleg tega so v zadnjih letih mnogi priznani znanstveniki uspešno odkrili nove načine aplikacij abstraktnih rezultatov na tem področju. Spomnimo se, da sta oba lavreata Abelove nagrade za leto 2015, John F. Nash in Louis Nirenberg, dobila to priznanje »za nepričakovane in pionirske prispevke k teoriji nelinearnih parcialnih diferencialnih enačb in njihovih aplikacij«.
Nekateri člani naše raziskovalne skupine so odkrili nove načine uporabe ene veje nelinearne analize, Karamatovo teorijo regularne variacije so namreč prvič uporabili člani naše skupine za precizno asimptotično analizo rešitev nekega pomembnega razreda nelinearnih eliptičnih enačb. Spomnimo, da je bila Karamatova teorija prvič vpeljana v tridesetih letih prejšnjega stoletja za aplikacije na področju teorije verjetnosti. Naši originalni rezultati o problemih z variabilnim eksponentom in o nelokalnih problemih imajo velik potencial za uporabnost pri študiju raznih konkretnih pojavov.
Predlagani raziskovalni problemi so v zadnjih letih v središču pozornosti več znanih ekspertov iz nelinearne analize z vsega sveta. Reference članov naše raziskovalne skupine zagotavljajo uspešnost predlaganih raziskav. Predlagamo nove metode in tehnike rešitve zelo težkih še nerešenih problemov. Zato bodo naši rezultati gotovo poželi veliko zanimanja mednarodne matematične skupnosti.
Naša raziskovalna skupina je na tem področju zelo uveljavljena in je dobila mnogo domačih in tujih priznanj. Pričakujemo, da bodo naši rezultati še naprej objavljani v vodilnih specializiranih revijah in da bodo vodilni člani naše skupine še naprej vabljeni, da predavajo na pomembnih mednarodnih konferencah, s čimer se potrjuje mednarodna uveljavljenost naše raziskovalne skupine.
Pričakujemo še povečan interes eminentnih tujih raziskovalnih institucij za sodelovanje z našim institutom, predvsem iz Evropske unije. Zdaj ima naša raziskovalna skupina največje število mednarodnih projektov med vsemi raziskovalnimi skupinami s področja matematike v Sloveniji.
Pomen za razvoj Slovenije
Že več let intenzivno in zelo uspešno sodelujemo z različnimi uporabniki. Matematični model povezan z asimetričnim sistemom šifriranja, ki smo ga razvili, je bil uspešno uporabljen za transfer podatkov med komunikacijskimi omrežji za zagotavljanje varnosti informacijskih sistemov. Na teh področjih tesno sodelujemo z industrijo, da bi ustvarili eksperimentalni model portala, ki implementira avtentifikacijsko funkcijo osnovano na lastniških matematičnih modelih superiornih standardnim. Zato pričakujemo tako sodelovanje tudi v prihodnje.
Raziskave, ki jih predlagamo v tem projektu, bodo imele izjemno pozitiven učinek na razvoj podiplomskih študijev na vsaki univerzi z doktorskim programom iz matematike v Sloveniji. To še posebej velja za izobraževanje prihodnjih sodelavcev naše raziskovalne skupine z univerz v Ljubljani, Mariboru, Novi Gorici in na Primorskem. Pod mentorstvom naših raziskovalcev in odličnih tujih raziskovalcev bodo naši mladi raziskovalci pripravili doktorske disertacije iz najbolj aktualnih tem sodobne nelinearne analize.
Raziskovalno področje naše projektne skupine spada v eno od temeljnih vej matematike in rezultati naših raziskav bodo prispevki za vso svetovno matematično skupnost; vključevali bodo najnovejše dosežke in njihova relevantnost se bo odražala v mnogih citatih. Nekateri rezultati naše skupine bodo uporabni tudi v drugih vejah matematike.
Celotna raziskava se bo nanašala in bo gradila na našem dosedanjem uspešnem raziskovalnem delu na tem področju in bo povezana s problemi, ki jih je naša raziskovalna skupina zelo uspešno proučevala z zelo pozitivnim odmevom v mnogih mednarodnih projektih. Kot rezultat naših dolgotrajnih naporov je naš institut mednarodno priznan evropski center teoretičnih in kombiniranih teoretično-uporabnih raziskav na preseku med nelinearno analizo, topologijo in geometrijo.
Najpomembnejši znanstveni rezultati
Vmesno poročilo,
zaključno poročilo
Najpomembnejši družbeno–ekonomsko in kulturno relevantni rezultati
Vmesno poročilo,
zaključno poročilo
