Projekti / Programi
Interakcije med kompleksno analizo, minimalnimi ploskvami in parcialnimi diferencialnimi enačbami
| Koda |
Veda |
Področje |
Podpodročje |
| 1.01.00 |
Naravoslovje |
Matematika |
|
| Koda |
Veda |
Področje |
| P001 |
Naravoslovno-matematične vede |
Matematika |
| Koda |
Veda |
Področje |
| 1.01 |
Naravoslovne vede |
Matematika |
kompleksna analiza, minimalne ploskve, parcialne diferencialne enačbe, harmonična analiza, numerična analiza, teorija invariant
Raziskovalci (16)
Organizacije (2)
Povzetek
Raziskovali bomo probleme s področja kompleksne analize in geometrije z uporabo v teoriji minimalnih ploskev, v skoraj kompleksni analizi in geometriji, harmonični analizi, teoriji parcialnih diferencialnih enačb, numerični analizi in teoriji invariant Liejevih grupoidov ter sorodnih struktur.
F. Forstnerič in A. Alarcona sta odkrila tesno povezavo med moderno teorijo Oka in teorijo minimalnih ploskev. Nadaljevali bomo s študijem klasičnega problema Calabi-Yau za konformne minimalne ploskve. Skušali bomo konstruirati konformne minimalne imerzije f:M→Rn poljubne Riemanne ploskve M z robom ∂M v Rn za vsak n)2, ki so zvezne do roba, imajo Jordanov rob f(∂M) in so metrično kompletne (slika vsake divergetne krivulje v M ima neskončno dolžino v Rn). Konstruirali bomo kompletne prave minimalne imerzije v konveksne domene v Rn in v 2-konveksne domene v R3. Analizirali bomo analitično in topološko strukturo prostora vseh konformnih minimalnih imerzij M→Rn. Pričeli bomo s študijem konformnih mimimalnih imerzij neorientabilnih Riemannovih ploskev v Rn.
Raziskali bomo obstoj kompletnih pravih holomorfnih imerzij in vložitev iz krogel nižje v krogle višje dimenzije ter analitično in topološko strukturo kompletnih hiperploskev v kroglah, ki jih je konstruiral J. Globevnik (Annals of Math., v tisku). Skušali bomo konstruirarti prave nezavozlane holomorfne diske v C2.
Raziskali bomo strukturo CR singularnih točk imerziranih realnih mnogoterosti v kompleksnih mnogoterostih. Pokazali bomo, da sta trivialnost prvega Pontryaginovega razreda in Eulerjeve karakteristike potreben in zadosten pogoj za obstoj CR regularnih imerzij realnih orientiranih sklenjenih 4-mnogotersti v C2; za obstoj CR regularnih vložitev mora biti 4-mnogoterost spinska.
U. Kuzman je izvedel obsežno študijo deformacijske teorije za J-holomorfne diske. Načrtuje se posplošitev rezultatov na mnogoterosti višjih dimenzij in konstrukcija diskov z robom v danem torusu. Predviden je študij Donaldsonove metode lepljenja psevdoholomorfnih krivulj. Študirali bomo obstoj pravih J-holomorfnih preslikav iz diska v skoraj kompleksne Steinove mnogoterosti razsežnosti vsaj 3 ter vprašanje holomorfne aproksimacije preslikav z majhnim konjugirano kompleksnim odvodom. Študirali bomo robne lastnosti in deformacijsko teorijo stacionarnih in ekstremnih diskov na skoraj kompleksnih mnogoterostih.
O. Dragičević v sodelovanju z A. Carbonaro namerava razširiti domet metode toplotnega toka, prirejenega Bellmanovi funkciji, za holomorfni funkcijski račun za nesimetrične Ornstein-Uhlenbeckove operatorje ter za dokaz optimalne bilinearne vložitve za eliptične diferencialne operatorje v divergenčni formi s kompleksnimi koeficienti. Metode bodo variante metode toplotnega toka, uporabljene na Bellmanovi funkciji, ki sta jo l. 1995 iznašla Nazarov in Treil.
Študirali bomo superpozicijo periodičnih rešitev nelinearne Schrödingerjeve in drugih integrabilnih parcialnih diferencialnih enačb. Raziskali bomo princip superpozicije periodičnih rešitev fokusirajoče nelinearne Schrödingerjeve enačbe. Cilj je poiskati in klasificirati elementarne potujoče periodične rešitve ter konstruirati kvaziperiodične rešitve iz končnih družin potujočih rešitev z različnimi frekvencami.
Študirali bomo invariante topoloških grupoidov, Liejevih grupoidov, Liejevih algebroidov ter Hopfovih algebroidov. Rezultate bomo aplicirali v teoriji foliacij in teoriji orbiterosti. Razvili bomo nove efektivne metode za izračun (ko-)homoloških grup topoloških algebroidov ter študirali povezave na Liejevih grupoidih.
Pomen za razvoj znanosti
Rezultati raziskave bodo pomemben izviren prispevek sodobni znanosti na področju kompleksne analize in geometrije, teorije minimalnih ploskev, harmoničnen analize, teorije PDE, numerične analize in teorije Liejevih grupoidov ter sorodnih struktur. Potrudili se bomo, da bodo objavljeni v prvorazrednih mednarodnih revijah, kot smo to delali do sedaj. Po mnenju predlagatelja bodo rezultati na področju uporabe kompleksne analize v teoriji minimalnih ploskev v kratkem postali neobhodni za nadaljnja raziskovanja na tem dročju, saj prinašajo bistveno nove in močnejše metode od dosedanjih. Rezutati bodo predstavljeni na vabljenih predavanjih na mednarodnih konferencah in doktorskih šolah ter bodo prenešeni v učni proces na Univerzi v Ljubljani. Kot je razvidno iz opisa predlaganih problemov, je bistvenega pomena za uspešno izvedbo projekta poglobljeno mednarodno sodelovanje vodje in članov projektne skupine. Vzdrževanje takega sodelovaa zahteva določena materialna sredstva, po drugi strani pa prispeva k visoki mednarodni vidnosti skupine ter k splošni relevanci in teži projekta. V zadnjem času se je število tesnih in intenzivnih mednarodnih sodelovanj članov skupine bistveno okrepilo; omenim naj intenzivno sodelovanje F. Forstneriča s skupino na Univerzi v Granadi, sodelovanje B.Drinovec Drnovškove z R. Sigurdssonom z Univerze v Reykjaviku, sodelovanje U. Kuzmana s F. Bertrandom z AUB v Bejrutu, Libanon, ter vse bolj intenzivno sodelovanje O. Dragičevića z A.Carbonarom z Univerze v Genovi. Tovrstna sodelovanja s prvorazrednimi tujimi znanstveniki ohranjajo slovensko matematiko v stiku s konico sodobne matematične znanosti.
Pomen za razvoj Slovenije
Glavni neposredni pomen projekta je v prenašanju novih znanstvenih dosežkov v pouk matematike na Univerzi v Ljubljani, na ohranjanje iz razvoj matematike kot temeljne znanosti, ki je podstat praktično vsem ostalim naravoslovnim in tudi mnogim družboslovnim znanostim, ter na vzgojo novih generacij raziskovalcev in drugih kadrov na področju matematike.
Matematika je univerzalni jezik znanosti in je navzocˇa vsepovsod, od naravoslovja, medicine in tehnike do ekonomije in druzˇbenih znanosti. Eden od pomembnih neposrednih vplivov predlaganega projekta bo v vzgoji sˇtudentov in mladih raziskovalcev na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani. Dolocˇeni deli projekta, sˇe posebej geometrijska interpolacija, imajo tudi neposreden prakticˇen pomen v razlicˇnih aplikacijah matematike v konkretnih problemih v tehniki, kot je razvidno iz samega opisa projekta. Predlagani problemi iz podrocˇja harmonicˇne in kompleksne analize so sicer fundamentalne narave, vendar se resˇitve s tega podrocˇja prenasˇajo in aplicirajo v drugih vejah matematike, med drugim tudi v numericˇni analizi, za katero smo zˇe navedli konkretno uporabnost v problemih v tehniki in na drugih podrocˇjih znanosti. Teorija parcialnih diferencialnih enačb je eno fundamentalnih in tudi najbolj uporabnih podrocˇij matematike, čigar uporabe segajo v praktično vsa področja znanosti in tehnike.
Najpomembnejši znanstveni rezultati
Vmesno poročilo,
zaključno poročilo
Najpomembnejši družbeno–ekonomsko in kulturno relevantni rezultati
Vmesno poročilo,
zaključno poročilo
