Loading...
Projekti / Programi vir: ARRS

Preslikave na kolobarjih in algebrah

Obdobja
Raziskovalna dejavnost

Koda Veda Področje Podpodročje
1.01.00  Naravoslovje  Matematika   

Koda Veda Področje
P120  Naravoslovno-matematične vede  Teorija števil, teorija obsegov, algebraična geometrija, algebra, teorija gup 
P140  Naravoslovno-matematične vede  Vrste, Fourierova analiza, funkcionalna analiza 
Ključne besede
Kolobarji, algebre, preslikave, funkcijske identitete, odvajanja, avtomorfizmi
Vrednotenje (pravilnik)
vir: COBISS
Raziskovalci (6)
št. Evidenčna št. Ime in priimek Razisk. področje Vloga Obdobje Štev. publikacij
1.  08721  dr. Matej Brešar  Matematika  Vodja projekta/programa  2001 - 2003  803 
2.  20272  dr. Maja Fošner  Upravne in organizacijske vede  Raziskovalec  2001 - 2003  212 
3.  06084  dr. Bojan Hvala  Matematika  Raziskovalec  2001 - 2003  242 
4.  02297  dr. Peter Legiša  Matematika  Raziskovalec  2001 - 2003  450 
5.  01470  dr. Bojan Magajna  Matematika  Raziskovalec  2001 - 2003  228 
6.  04310  dr. Joso Vukman  Matematika  Raziskovalec  2001 - 2003  323 
Organizacije (1)
št. Evidenčna št. Razisk. organizacija Kraj Matična številka Štev. publikacij
1.  0101  Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko  Ljubljana  5055598000  19.217 
Povzetek
Na kratko lahko raziskovalni program opredelimo kot studij razlicnih preslikav na kolobarjih in algebrah. V osnovi so raziskave algebraicne, ceprav znaten delez rezultatov sodi v funkcionalno analizo oz. operatorsko teorijo. Algebraicne metode, ki smo jih izdelali v dosedanjih raziskavah, so se namrec pogosto izkazale za koristne v analizi. Osnovna raziskovalna tematika je teorija funkcijskih identitet. Koncept funkcijskih identitet je razmeroma nov; v zacetku devetdesetih ga je z vrsto clankov vpeljal vodja programske skupine. V zadnjih nekaj letih se je zanimanje za to podrocje zelo povecalo in nekatere fundamentalne rezultate so dobili tudi nekateri drugi matematiki (predvsem K.I. Beidar in M.A. Chebotar). Poenostavljeno povedano si pod funkcijsko identiteto predstavljamo identiteto, ki velja za vse elemente kolobarja (ali vsaj za kaksno njegovo posebno podmnozico), v kateri nastopajo preslikave na kolobarju. Kadar v identiteti poleg preslikav nastopajo tudi fiksni elementi kolobarja, govorimo o posploseni funkcijski identiteti. Studij tovrstnih identitet je ze dolgo znan za primer, ko so preslikave avtomorfizmi, odvajanja, njihovi kompozitumi ipd. (npr. Kharchenkova teorija diferencialnih identitet). Toda pri (posplosenih) funkcijskih identitetah vnaprej ne postavljamo nobenega pogoja za obravnavane preslikave - ne ukvarjamo se s posebnimi tipi preslikav, temvec s povsem poljubnimi preslikavami. Ze nekateri enostavni primeri funkcijskih identitet pokazejo, da te identitete predstavljajo posplositev pojma polinomskih identitet. Podobno je pojem posplosenih funkcijskih identitet posplositev pojma posplosenih polinomskih identitet. Znacilen rezultat o (posplosenih) funkcijskih identitetah pove, da mora kolobar, ki taki identiteti zadosca, bodisi zadoscati (posploseni) polinomski identiteti (dolocene stopnje), bodisi se dajo vpletene preslikave natancno opisati. Dokoncni rezultati se dajo dobiti predvsem za prakolobarje. Nas osnovni cilj je po eni strani teorijo (posplosenih ) funkcijskih identitet poglobiti ter njene osnovne rezultate poenotiti in po drugi strani poiskati cimvec aplikacij te teorije tako v algebri (npr. Liejeve in jordanske preslikave) kot v analizi (npr. linearni ohranjevalci). Vzporedno se bomo ukvarjali tudi z nekaterimi posebnimi tipi preslikav (odvajanja, avtomorfizmi, elementarnimi operatorji itd.). Tovrstne preslikave igrajo pomembno vlogo tako v algebri kot analizi. Eden izmed pomembnih konkretnih ciljev je poiskati posplositve izreka o gostoti za kolobarje in algebre z odvajanji in avtomorfizmi.
Pomen za razvoj znanosti
Znotraj teorije kolobarjev je eno najpomembnejsih in najbolj razvejanih podrocij teorija polinomskih identitet. Funkcijske identitete predstavljajo posplositev polinomskih identitet in ze to je eden izmed vzrokov za njihov studij. Nadalje smo prepricani, da je teorija funkcijskih identitet zanimiva sama po sebi - njeni rezultati so netrivialni, z njihovimi dokazi pa so se odkrile nove metode. Najpomembnejsi razlog za obravnavo funkcijskih identitet pa je brez dvoma dejstvo, da so se rezultati izkazali za uporabne na razlicnih podrocjih, kjer se dotlej znane metode niso izkazale za dovolj ucinkovite. Med drugim so se z uporabo funkcijskih identitet resili vec kot tri desetletja stari Hersteinovi problemi o Liejevih izomorfizmih asociativnih kolobarjev. Pomen raziskovalnega programa vidimo tudi v povezovanju med razlicnimi matematicnimi podrocji. Algebraicne raziskave, s katerimi smo in se bomo ukvarjali, se pogosto izkazujejo kot uporabne v analizi. Tako se zapletene analiticne metode nadomestijo z enostavnejsimi, preglednejsimi in velikokrat ucinkovitejsimi algebraicnimi metodami.
Pomen za razvoj Slovenije
Predlagana raziskava sodi med temeljne raziskave, ki nimajo ozkega nacionalega predznaka. Gledano s slovenskega stalisca je pomen raziskave predvsem v tem, da omogoca ohranjanje stikov slovenske matematike z dogajanji v svetovni matematiki. To posredno ohranja in krepi slovensko matematicno kulturo.
Najpomembnejši znanstveni rezultati Zaključno poročilo
Najpomembnejši družbeno–ekonomsko in kulturno relevantni rezultati Zaključno poročilo
Zgodovina ogledov
Priljubljeno